Eigenraum und die algebraische- und geometrische Vielfachheit

Question

Die darstellende Matrix \( A \) der linearen Abbildung \( T_{A} \) ist bezüglich der Standardbasis gegeben durch

\( A=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 4 & 0 & 2 \end{array}\right) \)
(i) Berechnen Sie für die lineare Abbildung \( T_{A} \) alle Eigenwerte, indem Sie das charakteristische Polynom auf      Nullstellen untersuchen.
(ii)  Bestimmen Sie für jeden Eigenwert den zugehörigen Eigenraum.
(iii) Bestimmen Sie für jeden Eigenwert die algebraische und die geometrische Vielfachheit.

So ich habe die i) und die ii) schon gelöst, für die i) habe ich folgende Eigenwerte erhalten: λ₁ = -1 , λ₂ = 1 , λ₃ = 6

Bei der (ii) war ich mir nicht sicher welche Matrize ich nehmen soll für den Eigenraum, da ich A erstmal in Zeilenstufenform bringen musste für die (i). Verwende ich dann die Normale Matrize A oder die, die ich in Zeilenstufenform gebracht habe um die Lambdas einzusetzen?

Und für die (iii) verstehe ich das nicht richtig was ich da machen soll.

Answer 1

ii)  Betrachte die Lösungsmenge von (A-λE) * x = 0 .

Ist in allen drei Fällen eindimensional.

iii) Damit sind geom. und alg. Vielfachheiten

alle gleich 1.

Comments

für die (ii) hab ich das jetzt nicht genau verstanden, also ich benutze die matrize die ich in Zeilenstufenform gebracht habe aus A oder A wie es da steht?

und zur (iii) wie genau bestimme ich diese?

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Du fängst immer mit der Originalmatrix an.

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okay dann wäre der Eigenraum für λ₁ = -1

    4 0  3

=    0 2 -2

    4 0  3

oder nicht?

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Das wäre die Matrix, deren Kern der Eigenraum ist.

4 0  3
  0 2 -2
  4 0  3    | - 1. Zeile

==>      4 0  3
          0 2 -2
          0  0  0

==>   z beliebig und y = z  und  x = -3z/4, also

oder auch z=4t   y=4t    x=-3t

Also sind die Elemente des Eigenraums von der Form

\(   \begin{pmatrix} -3t\\4t\\4t \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} -3\\4\\4 \end{pmatrix}  \)

Also ein ein-dim Eigenraum mit Basis \(    \begin{pmatrix} -3\\4\\4 \end{pmatrix}  \).

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Achso okay, und weil der Eigenraum ein Dimensional ist, ist somit die geometrische Vielfachheit auch = 1, und die algebraische Vielfachheit ist ebenfalls 1, da die Eigenwerte von erster Ordnung sind, und weil die alg.- und geom. Vielfachheit gleich sind gilt, dass die Matrize Diagonalisierbar ist oder nicht?

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weil die alg.- und geom. Vielfachheit gleich sind gilt, dass die Matrize Diagonalisierbar ist oder nicht?

An einem Eigenwert kannst du das nicht ablesen.

Alle drei Eigenräume sind 1-dim, also gibt es eine

Basis von 3 Eigenvektoren. Bezüglich der hat die

Matrix der lin. Abb. Diagonalgestalt.

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Ja sorry das muss für jeden Eigenwert gelten, mein fehler