Welcher Wert hat die geometrische Vielfachheit?

Question

Sei Matrix A∈K^5x5 und das charakteristische Polynom CP_A(X) = X³(X-1)²

Der Rang von A ist 3, also ist µ_g(A,0) = 2 < 3 = µ_a(A,0)

Der Rang von A - I₅ ist 4, also ist µ_g(A,1) = 1 < 2= µ_a(A,1)

So habe ich dies in einem Lösungsvorschlag stehen.
Meine Frage lautet: Um die geometrische Vielfachheit zu berechnen, muss man dafür immer die Eigenvektoren bzgl des Eigenwertes berechen, wodurch man die Dimension des Eigenraumes bzgl diese Eigenwertes bekommt, die dann mit der geometrischen Vielfachheit bzgl diese Eigenwertes übereinstimmt,

ODER,
gibt es da einen schnelleren Trick, damit man die Eigenvektoren nicht immer bestimmen muss um die geometrische Vielfachheit zu berechnen. Denn laut des Lösungsvorschlags, sieht es aus als würde man mithilfe folgendem dies berechnen:

dim(V) = Rang(A - X*I_n) + µ_g(A,X), was in meinen Augen wieder der Dimensionssatz ist: dim(V) = Rang(Φ) + dim(Kern(Φ))
Fals dies der Fall ist, dann würde ich gerne kurtz erklärt bekommen wie/warum man den Dimensionssatz auf die geometrische Vielfachheit anwenden kann.

Answer 1

   Ich glaube das Wesentliche, worauf es eigentlich ankommt, wirst du nicht verstehen,  wenn du nicht bereit bist, in das wohl schwierigste Kapitel der Matrixalgebra einzusteigen:  die ===>  Elementarteiler  ( ET )   hervor ragend erklärt in Kowalsky bzw. Greub  Band 2  .

    Diese Phrase von der  " geometrischen Vielfachheit "  -  sie macht mich raaaaasend.

    Wer  " geometrische Vielfachheit  "  sagt, gibt nur zu erkennen, dass er keine Ahnung hat von  ET  .

   Es ist wie allgemein in der Algebra; siehe z.B. Artin oder v . d . Waerden.  Das wichtigste Polynom im Leben einer Nullstelle ist ihr  ===>  Minimalpolynom  .  Und bei Matrizen ist das eben nicht viel anders.

    Dasjenige Polynom, das wirklich etwas Existenzielles aussagt über deine Matrix A  , ist sein Minimalpolynom

       p_min  (  x  ;  A  )        (  1a  )

      und eben nicht die Säkulardeterminante  (  SD  )

         p_det  (  x  ;  A  )  :=  det  (  A  -  x  *  1|  )           (  1b  )

       Aus der ET Teorie folgt

      1)  Jede Matrix löst ihre eigene SD  (  Bei einer ===> halbeinfachen, also diagonalisierbaren Matrix wäre das auch trivial. Aber es gilt allgemein. )

     2)  Das Minimalpolynom teilt die SD.

     3)  Seine Wurzeln sind genau die Eigenwerte.

     Als Vielfachheit bezeichnet man insbesondere nur die Vielfachheit eines Eigenwerts in der  SD. 

    Ich sagte dir;  das Minimalpolynom teilt die SD .  In deinem Falle gäbe es also die Möglichkeiten

      p_min  (  x  ;  A  )  =  x  ^  k  (  x  -  1  )  ^  m     (  2a  )

           k  =  1 ,  2  ,  3   ;  m  =  1  ,  2       (  2b  )

       Diese Faktoren  (  2a   )

        x  ^  k         (  3a  )

            bzw.

             (  x  -  1  )  ^  m       (  3b  )

       heißen die zu Eigenwert Null bzw. Eins  adjungierten  ET  .

   Der Grund, warum man sowas macht:  Im Gegensatz zu den Eigenvektoren ist die ET Zerlegung immer  ===>  direkt.  Auch dann, wenn eine Matrix nicht diagonalisierbar ist. Ich schnitze mir zwei sog. Komponentenräume   (  KR  )  V0 und V1 .  Dann gilt

     1)   K  ^  5  =  V0  +  V1

     2)  Die  Beschränkung von A auf   V0  bzw.  V1 ist ein  Endomorphismus.

     3)  Das Minimalpolynom von A auf V0 bzw. V1 ist der jeweilige  ET   ( 3ab )

     4)   Die  Dimension jedes KR  ist gleich der Vielfachheit des zugehörigen Eigenwertes;  demnach 2  bei V1 und 3 bei V0.

     5)  Daraus ergibt sich die SD von A auf V0 zu x ³  so wie ( x - 1 ) ²  auf V1 .

       Zunächst mal  ist der Eigenwert von A auf V1 gleich Eins ===>  A ist regulär auf V1  ;  V1 liegt im Bild von  A  .  Im Falle  m = 1 in ( 3b )  ist A zusätzlich diagonalisierbar auf V1,  also gleich der einheitsmatrix.  Für  m = 2 ist das nicht mehr der Fall; es existiert keine Basis von Eigenvektoren.

    Du siehst; deine Behauptung kann nicht stimmen.  Der Rang von A auf V1 ist  2 völlig unabhängig davon, wie viel Eigenvektoren du in V1 findest.

    Die wirklich bösen Dinge passieren aber in V0, wo sich Natur gemäß der Kern aufhält.  Du musst einfach sehen:  Im Gegensatz zur ET Zerlegung ist ja die Zerlegung nach Kern und Bild nicht direkt.  Ein bestimmter Vektor kann gleichzeitig im Kern und im Bild liegen.  Da die Vielfachheit des Eigenwerts Null gleich 3 beträgt, hat V0 dimension 3 .  Rang 3 bedeutet jetzt zwei Kernvektoren  v1  und v2 .

        A  v1  =  A  v2  =  0        (  4a  )

     A  v3  =  k1  v1  +  k2  v2  ===>  A  ²  =  0      (  4b  )

         In diesem Fall war es uns also möglich, aus dem Rang  den Grad des ET zu rekonstruieren.

    Ist vielleicht alles noch bissele neu für dich;  kaum ein Student hat je davon gehört.

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Du hast recht, ET ist neu für mich. Jedoch kann ich dir halbwegs folgen. Die Eigenschaft, dass ET Zerlegung immer direkt ist...klingt als würde man viel elegantere Wege damit einschlagen können. 
Ich werde mir das Thema auf jeden Fall anschauen wenn ich mit der Algebra besser zurecht komme :)

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     Ich selbst war seiner Zeit in der glücklichen Lage,  dass ich schon alles über Minimalpolynome wusste.  Etwa im Artin, v. d. Waerden oder noch besser in dem Algebraskript vn Otto Haupt wirst du dir das Tema ggt  und Hauptidealringe reinziehen müssen.

   Weil  beim Beweis wird das an einer Stelle gebraucht.