Zeige: \phi höchstens m+1 verschiedene Eigenwerte

Question

Aufgabe: Sei $$\phi :V\rightarrow V$$ linear mit $$rang(\phi)=m$$. Zeige: $$\phi $$ höchstens m+1 verschiedene Eigenwerte

Problem/Ansatz: Nach der Rangformel gilt ja $$n=dim(V)=dim(Bild(\phi))+dim(kern(\phi))=m+dim(kern(\phi))$$.

Nun ist der Kern ja nichts anderes als der Eigenraum zum Eigenwert 0, d.h. $$dim(Eig(\phi,0))=n-m$$. An und für sich wäre das ja ab hier kein Problem zu beweisen, weil die Vielfachheit eines Eigenwerts ist ja immer größer gleich der Dimension des zugehörigen Eigenraums, hier also größer gleich n-m. Da das charakteristische Polynom Grad n hat, ist klar, z.B. mit Polynomdivision, dass es höchstens m weitere Eigenwerte gegeben kann, also insgesamt maximal m+1.

Meine Problem ist jetzt, dass ich das ohne die Aussage über die Relation zur Vielfachheit von Eigenwerten und der Dimension des Eigenraums zeigen möchte, also ohne $$Vielfachheit(\lambda)\geq dim(Eig(F,\lambda))$$. Hätte da jemand einen Ansatz ?

Answer 1

Hallo,

es geht auch, wenn bekannt ist, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind.

Dann sei \(f(v_i)= \lambda_i v_i\) mit k verschiedenen Eigenwerten \(\lambda_1, \ldots \lambda_k\). Dann ist \((v_1, \ldots, v_k)\) linear unabhängig. Dann ist aber auch

$$(f(v_1), \ldots, f(v_k))=(\lambda_1 v_1, \ldots, \lambda_k v_k)$$

linear unabhängig. Ausnahme: Ein \(\lambda_j\) ist gleich 0; dann entfällt \(f(v_j)\). Damit gilt

$$\text{Rang}(f) \geq k-1$$

Gruß