Meine Eigenwerte sind λ1= a+b und λ2 = a-b, wann ist eine solche Matrix nicht diagonalisierbar?

Question

Aufgabe: Stellen Sie fest, für welche a,b ∈ ℝ die Matrix diagonalisierbar ist.

\( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Meine Eigenwerte sind λ1= a+b und λ2 = a-b, wann ist eine solche Matrix nicht diagonalisierbar? Eig. doch wenn λ = 0 ist, also

dann wäre sie ja diagonalisierbar für alle a,b ∈ ℝ \ {a = b, oder a = -b und -a = b, und entweder a ≠ 0 oder b ≠ 0 }

Stimmt dies soweit?

Comments

Deine Eigenwerte scheinen nicht zu stimmen.

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Ich habe nochmals gerechnet, jetzt kommt raus: λ1= a + \( \sqrt{-b^2} \) und λ2 = a - \( \sqrt{-b^2} \)

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Falls Diagonalisierbarkeit über ℝ gemeint ist, muss demnach b = 0 sein. Denn sonst zerfällt das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren und die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

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Also kann ich im allgemeinen festhalten, da es eine komplexe Zahl ist und diese nicht im R-VR sich zerlegen lässt, ist die diagonalisierbarkeit nur bei b = 0 möglich?.

Zudem eine Matrix ist immer dann diagonalisierbar, wenn?

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1. Die Matrix ist über ℝ nur für b = 0 diagonalisierbar. Über ℂ sieht das anders aus.

2. Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt und die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte mit den algebraischen übereinstimmen.
Insbesondere ist eine n×n-Matrix diagonalisierbar, wenn es n paarweise verschiedene Eigenwerte gibt.