a ∈ R so bestimmt werden, dass A die Eigenwerte λ1= 0 und λ2=-1 hat.

Question

Gegeben ist folgende Matrix (2 x 2).

\( A = \left(\begin{array}{cc}a & -2 \\ 1 & 1\end{array}\right) \)

Nun soll a ∈ R so bestimmt werden, dass A die Eigenwerte λ₁= 0 und λ₂=-1 hat.

Mein Lösungsweg:

1. Charakteristische Polynom mit det(A-λI) bestimmen

Ergebnis: λ²-λ(a+1) + 2 + a

2. Jetzt starten meine Verständnisprobleme:

a) Das charakterisitsche Polynom kann ja lt. Aufgabenstellung mit λ₁= 0 und λ₂=-1 dargestellt werden:

(λ-λ₁)(λ-λ₂) = λ(λ+1) = λ²+λ        (das hab ich verstanden)

b) Mein errechnetes p(λ) mit dem in a) definierten p(λ) gleichsetzten:

λ²-λ(a+1) + 2 + a = λ²+λ

⇔ -(a+1) = 1 ∧ a + 2 = 0     ( das versteh ich nicht, wie kommt man darauf?)

⇔ a = -2

Besten Dank schonmal.

Comments

Zwei Polynome sind gleich wenn alle ihre Koeffizienten gleich sind, daraus ergibt sich das Verfahren des Koeffizientenvergleichs: https://de.wikipedia.org/wiki/Koeffizientenvergleich

Answer 1

λ²-λ(a+1) + 2 + a = λ²+λ

Es müssen links und rechts gleich viele  λ², gleich viele λ vorkommen, ausserdem muss die Konstante links und rechts gleich sein.

λ²-λ(a+1) + 2 + a =  λ²+1λ + 0

⇔ -(a+1) = 1 ∧ a + 2 = 0     ( nennt man Koeffizientenvergleich)

⇔ a = -2