Angenommen Ich habe das charakteristische Polynom p(λ) einer 4x4-Matrix bestimmt und Ich kenne bereits 3 Eigenwerte.

Question

Wie kann ich sofort, ohne Polynomdivision, einen vierten Eigenwert bestimmen?

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Das geht auch ohne das charakteristische Polynom bestimmt zu haben.
λ₄ = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄ - (λ₁ + λ₂ + λ₃).

Answer 1

Muss nicht das Produkt der Eigenwerte den konstanten Summand im Polynom ergeben?

Teste das mal aus.

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Wenn einer der drei bereits bekannten Eigenwerte gleich Null ist?

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Wenn einer der drei bereits bekannten Eigenwerte gleich Null ist?

Das ist ein guter Einwand. Aber dann kann man ja aus dem Polynom ein x ausklammern was natürlich einer sehr vereinfachten Polynomdivision entspricht.

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Beachte bitte auch die Antwort von wächter

https://www.mathelounge.de/705914/angenommen-charakteristische-polynom-bestimmt-eigenwerte?show=705922#a705922

Das geht dann dann auch wenn man kein charakteristisches Polynom hat und ist anhand der Matrix auch noch einfacher zu bestimmen.

Answer 2

Eigenwerte haben ganz hübsche Eigenschaften. Nach zu lesen z.B. bei

https://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Lineare_Algebra/Folien_Summe_und_Produkt_von_Eigenwerten.pdf

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Vielen Dank für diese Top-Antwort.