Suche den kleinsten Eigenwert der Matrix B. Kenne bereits 2 Eigenwerte.

Question

Suche den kleinsten Eigenwert der Matrix B, um den Eigenvektor davon zu berechnen.

3	1	-2
2	1	0
1	0	1

hab 2 und 1 schonmal raus. Jedoch klappt es bei mir mit dem weiteren Wert nicht wirklich.^^

Brauche Hilfe...   :)

Comments

Wie hast du denn die deine Eigenwerte gefunden?

Hast du eventuell das charakteristische Polynom schon bestimmt?

Oder kennst du schon 2 Eigenvektoren?

Answer 1

[3, 1, -2]
[2, 1, 0]
[1, 0, 1]

Ich subtrahiere k*E

[3-k, 1, -2]
[2, 1-k, 0]
[1, 0, 1-k]

Zur Bestimmung der Eigenwerte bilde ich die Determinante und setzte sie gleich Null.

(3-k)*(1-k)*(1-k) + 1*0*1 + (-2)*2*0 - 1*(1-k)*(-2) - 0*0*(3-k) - (1-k)*2*1 = 0
(3-k)*(1-k)*(1-k) - 1*(1-k)*(-2) - (1-k)*2*1 = 0
(1-k)*((3-k)*(1-k) - 1*(-2) - 2*1) = 0
(1-k)*((3-k)*(1-k) + 2 - 2) = 0
(1-k)*(3-k)*(1-k) = 0

Eine einfache Nullstelle ist bei 3 und eine doppelte bei 1. Der kleinste Eigenwert ist damit 1.

Comments

Wie würden sie die Eigenvektoren bestimmen.

DAnke schonmal für die Eigenwerte, das hatwirklich geholfen! :)

---

Ich nehme die Matrix

[3-k, 1, -2]
[2, 1-k, 0]
[1, 0, 1-k]

setzte für k nacheinander meine Eigenwerte multipliziere mit [x,y,z] und setzte das Ergebnis Null. nun bestimme ich x, y und z.

Eigenvektor zum Eigenwert 3

[3-3, 1, -2]
[2, 1-3, 0]
[1, 0, 1-3]

[0, 1, -2]
[2, -2, 0] * [x, y, z]^T = [0, 0, 0]^T
[1, 0, -2]

x = 2z, y = 2z ∧ z = z

Damit ist dann der Eigenvektor ein vielfaches von [2z, 2z, z]

Eigenvektor zum Eigenwert 1

 

[3-1, 1, -2]
[2, 1-1, 0]
[1, 0, 1-1]

[2, 1, -2]
[2, 0, 0] * [1, y, z]^T = [0, 0, 0]^T
[1, 0, 0]

x = 0 ∧ y = 2z ∧z = z

 

Damit ist dann der Eigenvektor ein vielfaches von [0, 2z, z]

 

Answer 2

Um jetzt noch die Eigenvektoren zu bestimmen, setzt du die bestimmten Eigenwerte in A-k*E ein und bestimmst den Kern der so erhaltenen Matrix.

k₁=1:

Den Kern kannst du z.B. bestimmen, wenn du nun einen Vektor v=(v₁, v₂, v₃) heranmultiplizierst, das Ergebnis mit dem Nullvektore gleichsetzt und die Basis des aufgespannten Raums notierst:

A*v = 0 ergibt drei Gleichungen:

2v₁ + v₂ - 2v₃ = 0
2v₁ = 0
v₁ = 0

Eigenvektor ist also z.B.

v₁ = (0, 2, 1)

Eine weitere linear unabhängige Lösung gibt es nicht! Der Eigenwert k₁ hatte aber die algebraische Vielfachheit zwei, also muss noch ein sogenannter beigeordneter Eigenvektor konstruiert werden. (Daraus folgt auch, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist, sondern nur in die Jordansche Normalform gebracht werden kann.)

Während der Eigenvektor v die Gleichung

A*v = k*v

erfüllt, erfüllt der beigeordnete Eigenvektor die Gleichung

A*u = k*u + v

Also muss das lineare Gleichungssystem

(A-k*E) u = v

gelöst werden. Ich notiere die erweiterte Koeffizientenmatrix und forme sie mit dem Gaußalgorithmus um:

Der beigeordnete Eigenvektor muss also das folgende Gleichungssystem erfüllen:

u₁ = 1
u₂-2u₃ = -2

Solche Vektoren gibt es viele, es reicht, einen beliebigen zu wählen, z.B.

u = (1, -2, 0)

 

Nun kommen der Eigenvektor zu

k = 3:

Man notiert wieder A-kE:

Der Eigenvektor muss also

w₁ - 2w₃ = 0
w₂ - 2w₃ = 0

erfüllen. Das tut z.B.

w = (2, 2, 1)

 

Nun hat man zwei Eigenvektoren und einen beigeordneten Eigenvektor. Transformiert man die Matrix in die Basis

B = (v, u, w)

dann nimmt sie Jordansche Normalform an: