Eigenwerte einer Matrix auch via Dreiecksform bestimmbar?

Question

Kann ich bei der Eigenwertberechnung, die Matrix einfach in dreiecksform bringen und dann die eigenwerte ablesen? Ohne lambda und char.Polynom

Answer 1

Du kannst höchstens die erweiterte Matrix aus dem LGS

A v= λ v  , mit v = (x,y,z) nach x,y,z und λ auflösen. Vgl. Definition von Eigenwert und Eigenvektor.

Ist aber nicht ganz so einfach auf Dreiecksform zu bringen.

Du hast eine Variable zu viel. Wähle der Reihe nach für x, y und z einen einfachen Wert. Z.B. 1.

Im Prinzip kommst du so auch fast auf das charakteristische Polynom und reproduzierst einen Teil der Theorie.

Answer 2

Nein. Elementare Zeilenumformungen erhalten keine Eigenwerte. Dass das nicht geht, kann man eigentlich auch schon daran Erkennen, dass man den ganzen Theorieaufwand mit "lambda und char. Polynom" betreibt um es zu berechnen. Wieso würde man das tun wenn es leichter ginge?