Zeigen Sie: Für jedes m ∈ ℕ ist A^{m} u=\lambda^{m} u .

Question

Aufgabe:

Sei \( A \) eine \( (n \times n) \)-Matrix und sei \( u \) ein Eigenvektor von \( A \) zum Eigenwert \( \lambda \). Zeigen Sie: Für jedes \( m \in \mathbb{N} \) ist \( A^{m} u=\lambda^{m} u \).

Answer 1

Beweis durch Induktion:

Ind.Anfang: \(m=1\): \(Au=\lambda u\) nach Definition von

\(\lambda\) und \(u\).

Ind.Voraussetzung: Sei für \(m\in\mathbb{N}\)

\(A^mu=\lambda^m u\).

Ind.Schritt:

\(A^{m+1}u=A(A^m u)\stackrel {IV}{=}A(\lambda^m u)=\lambda^m\cdot Au=\lambda^m\cdot \lambda u=\lambda^{m+1}u\)