Aloha :)
zu a) Wegen \((\sin(x)<x)\) für alle \(x>0\in\mathbb R\) gilt:$$I_a=\int\limits_1^\infty\frac{\sin(x)}{x^3+x^2}\,dx<\int\limits_1^\infty\frac{x}{x^3+x^2}\,dx=\int\limits_1^\infty\frac{1}{x^2+x}\,dx=\int\limits_1^\infty\left(\frac1x-\frac{1}{x+1}\right)dx$$$$\phantom{I_a}=\left[\ln(x)-\ln(x+1)\right]_1^\infty=\left[\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\right]_1^\infty=\left[\ln\left(\frac{(x\pink{+1})\pink{-1}}{x+1}\right)\right]_1^\infty$$$$\phantom{I_a}=\left[\ln\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\right]_1^\infty=\ln(1)-\ln\left(\frac12\right)=\ln(2)<\infty$$
zu b) Wegen \((x\ge0)\) ist der Bruch im Integranden stets positiv. Wenn wir den Nenner vergrößern, indem wir unter der Wurzel den Term \((\pink{8x^2+12x})\ge0\) addieren, wird der Bruch kleiner:$$I_b=\int\limits_0^\infty\frac{x+2}{\sqrt{x^3+8}}\,dx\ge\int\limits_0^\infty\frac{x+2}{\sqrt{x^3+\pink{8x^2+12x}+8}}\,dx=\int\limits_0^\infty\frac{x+2}{\sqrt{(x+2)^3}}\,dx$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_0^\infty\frac{1}{\sqrt{x+2}}\,dx=\left[2\sqrt{x+2}\right]_0^\infty\to\infty$$
