Ich habe die gesamte Lösung verstanden nur hackt es bei mir bei ln(0) da der ja Undefiniert ist und somit die Rechnung ja mehr oder weniger Unzulässig ist kann mir jemand kurz und knapp erklären warum das außer Acht gelassen wird und einfach damit weiter gerechnet wird bzw das ignoriert wird?
Die Aufgabe :
(Untersuchung uneigentlicher Integrale auf Konvergenz und ggf. Wert)
Prüfen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale konvergieren. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz jeweils auch den Wert des Integrals (ggf. in Abhängigkeit der angegebenen Parameter):
\( \int \limits_{2}^{\infty} \frac{1}{x^{2}-1} d x \)
(i) \( \int \limits_{2}^{\infty} \frac{1}{x^{2}-1} d x=? \quad \) Für \( 2<\beta<\infty \) gilt:
\( \begin{array}{l} \int \limits_{2}^{\beta} \frac{1}{x^{2}-1} d x \stackrel{(\text { s.o.) }}{=} \frac{1}{2} \cdot[\ln |x-1|-\ln |x+1|]_{2}^{\beta} \\ =\frac{1}{2} \cdot(\ln (\beta-1)-\ln (\beta+1)-\ln (1)+\ln (3)) \\ =\frac{1}{2} \cdot\left(\ln (3)+\ln \left(\frac{\beta-1}{\beta+1}\right)\right) \stackrel{\beta \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2} \cdot(\ln (3)+\ln (0))=\frac{\ln (3)}{2} \\ \end{array} \)
Man beachte dabei, dass: \( \quad \frac{\beta-1}{\beta+1}=\frac{1-\frac{1}{\beta}}{1+\frac{1}{\beta}} \stackrel{\beta \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1-0}{1+0}=1 \)
