uneigentliche Integrale: wie kommt man auf diese Lösung?

Question

Ich bräuchte Hilfe zum Thema "uneigentliche Integrale".

Aufgabe ist :

Berechnen Sie:    \( \int\limits_{0}^{\infty} \) xe^-xdx

Ich hätte gedacht, dass  das die Lösung ist:

\( \lim\limits_{b\to\infty} \)   \( \int\limits_{0}^{b} \)  xe^-xdx  = \( \lim\limits_{b\to\infty} \) [-xe^-x]^b₀  = \( \lim\limits_{b\to\infty} \) (-b · e^-b - 0 · -e⁰) = \( \lim\limits_{b\to\infty} \) (-b · e^-b) = \( \lim\limits_{b\to\infty} \) (-∞ · e^-∞) = 0

stattdessen stand in den Lösungen aber:

\( \lim\limits_{b\to\infty} \)  \( \int\limits_{0}^{b} \)  xe^-xdx = \( \lim\limits_{b\to\infty} \) ([-xe^-x]^b_x=0  −  \( \int\limits_{0}^{b} \) -e^-x dx)  = \( \lim\limits_{b\to\infty} \) ( [-xe^-x]^b_x=0  + [-e^-x]^b_x=0 )  =\( \lim\limits_{b\to\infty} \) (-be^-b + 0e⁰ − e^-b + e⁰ )

= 0 + 0 - 0 + 1 = 1

Kann mir einer erklären, wie man hier auf diese Lösung kommt? Wieso zieht man denn die beiden Integrale voneinander ab? Woher kommen die -e^-xdx ?

Answer 1

Aloha :)

Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion mittels partieller Integration:

$$\int \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=v'}dx= \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}-\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx$$$$\phantom{\int \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{=v'}dx}=-xe^{-x}-e^{-x}+\text{const}=-e^{-x}(x+1)+\text{const}$$

Damit gehen wir nun in das uneigentliche Integral:$$\int\limits_0^\infty x\cdot e^{-x}dx=-\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^{-x}(x+1)\right)+e^{0}(0+1)=-\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+1}{e^x}+1=0+1=1$$

Comments

Danke  dir!

Weißt du vielleicht, wieso bei meinen Lösungen beim zweiten Schritt da ein plus vor der eckigen Klammer steht? Und wieso bleiben in der Klammer die -e^-x stehen? Ich dachte man löst das Integral in eine eckige Klammer auf, in dem man integriert. -e^-x sind integriert doch eigentlich e^-x da man ja durch -1 teilt.

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Du hast den Vorfaktor \(x\) wie eine normale Konstante behandelt, also nur \(e^{-x}\) integreirt. Da steht aber noch ein \(x\) davor, das du als Konstante behandelt hast, obwohl es sich ja ändert. Daher hättest du hier partielle Integration verwenden müssen. Ich habe das in meiner Lösung entsprechend markiert mit \(u,v,u',v'\).

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ja genau, das mit der partiellen Integration habe ich jetzt verstanden und verstehe auch, wieso meine erste Rechnung falsch war.

Ich meine die zweite Rechnung. Da ist unser Prof ja auch mit partieller Integration vorgegangen. Ich verstehe nicht wieso hier das minus vor dem Integral zu einem plus wird.

Da wird ja aus \( \lim\limits_{b\to\infty} \) (⌈-xe^-x ⌉^b₀  −  \( \int\limits_{b}^{\infty} \) -e^-xdx)

zu

\( \lim\limits_{b\to\infty} \) (⌈-xe^-x⌉^b₀ + ⌈-e^-x⌉^b₀) 

Mich iritiert dieses +, welches da in der Mitte steht.

Answer 2

Du glaubst, dass \(-x\cdot e^{-x}\) eine Stammfunktion von \(x\cdot e^{-x}\) ist. Dem ist aber nicht so. Wenn du \(-x\cdot e^{-x}\) nach Produktregel ableitetst, erhältst du NICHT \(x\cdot e^{-x}\).