Uneigentliche Integrale bestimmen (mit Substitution)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale.

(a) \( \int \limits_{0}^{\infty} x e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \),

(b) \( \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x \).

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier vorgehen, bzw was muss ich anders machen als bei den "normalen" Integralen? In dem Beispiel welches mir vorliegt tauscht ein R als obere Grenze auf, dass verwirrt mich sehr... Prinzipiell sieht das für mich nach Substitution aus.

Comments

Zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

Die Stammfunktionen sind hier kein Problem.

Bei (a) taucht die innere Ableitung als Faktor auf:$$f_a(x)=xe^{-x^2}\implies F_a(x)=-\frac12\int(-2x)e^{-x^2}\,dx=-\frac12e^{-x^2}+\text{const}$$und bei (b) haben wir ein Standard-Integral:$$f_b(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\implies F_b(x)=\arcsin(x)+\text{const}$$

Die gesuchten uneigentlichen Integrale sind daher:$$\int\limits_0^\infty xe^{-x^2}\,dx=F_a(\infty)-F_a(0)=-\frac12\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^{-x^2}\right)+\frac12=0+\frac12=\frac12$$$$\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=F_b(1)-F_a(0)=\frac\pi2-0=\frac\pi2$$