Woraus folgt die Benennung der Eigenwerte(Eigenwert 1, Eigenwert 2)?

Question

Hallo

Warum wird bei folgender Aufgabe 1 als erster und 5 als zweiter Eigenwert bezeichnet? Wird immer der Eigenwert, der sich aus der Mitternachtsformel bei Verwendung von - vor der Wurzel, ergibt als erster Eigenwert bezeichnet? Kann man/muss man wenn ungerade Zahlen in der Parameterform der Eigenvektoren vorkommen diese so erweitern, dass sie gerade wird?

Aufgabe: Bestimmen Sie charakteristische Gleichung, Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix.

Matrix: ((1,0), (3,5)) 

Mein Lösungsweg:

(1-k)*(5-k) = 0 

mit der Mitternachtsformel k_1 = 5 nach Lösung: k_1=1

k:_2=1 nach Lösung: k_2=5

Eigenvektoren ergeben sich mit der Formel:

(A-k*E)=0

wobei E der Einheitsvektor und 0 der Nullvektor und A die Abbildungsmatrix und k der jeweilige Eigenwert ist.

damit ergibt sich:

r_1:(x.y)=c(0,1) nach Lösung: r_1:(x,y) = c_1*(4,-3)

r_2: (x,y)=c*(1, -3/4) nach Lösung r_2;(x,y) =c_2*(0,1)

Danke

Answer 1

Warum wird bei folgender Aufgabe 1 als erster und 5 als zweiter Eigenwert bezeichnet? Wird immer der Eigenwert, der sich aus der Mitternachtsformel bei Verwendung von - vor der Wurzel, ergibt als erster Eigenwert bezeichnet?

Ist egal, allerdings muss man bei der einmal gewählten Reihenfolge bleiben,

wenn man hinterher die Diagonalform einer Matrix bestimmt. Dann stehen in der

Diagonale die Eigenwerte in der Reihenfolge, wie man sie einmal gewählt hat.

Kann man/muss man wenn ungerade Zahlen in der Parameterform der Eigenvektoren vorkommen diese so erweitern, dass sie gerade wird?

Du meinst wohl sowas wie ( 0,4   ;  2,6  )  oder so mit Stellen hinter dem komma.

Da alle Vielfachen eines Eigenvektors auch Eigenvektoren sind, nimmt man dann

lieber   ( 4  ; 26 )  oder noch besser  ( 2 ; 13 )  damit die Zahlen etwas

übersichtlicher sind.