Welcher der drei gegebenen Vektoren ist der Eigenvektor zu A und wie lautet sein Eigenwert?

Question

Aufgabe:

6) Sei $$A=\begin{pmatrix}1& 3& -4& 2\\ 7& -2& -5& 2\\ 1& 1& 1& -1\\ 0& -5& 7& 0\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4}$$Welche der folgenden Vektoren im \(R^4\) sind Eigenvektoren von \(A\), und zu welchen Eigenwerten? $$u= \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}-2\\ -2\\ -2\\ -2\end{pmatrix},\quad w=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Ich komme auf ein Zwischenergebnis von ( 1- lander)^2 *( -2- lander )^2 + 50

Das kann aber nicht stimmen

Text erkannt:

Aufgabe 6
$$ \rightarrow A:=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -5 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & 7 & 0 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & -4 & 2 \\ 7 & -2 & -5 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & 7 & 0 \end{array}\right)$$

Comments

Wichtig! mache Dich mit der Matrix-Vektor-Multiplikation vertraut. Siehe auch den Wiki-Artikel.

Lösung: die Vektoren \(u\) und \(v\) sind (identische!) Eigenvektoren von \(A\) un der Eigenwert ist \(2\).

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Werte in den Zeilen der Matrix addierst, erhältst du immer den Wert \(2\).

Daher ist \((1;1;1;1)^T\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(2\).

Da Eigenvektoren nur bis auf einen von Null verschiedenen Faktor eindeutig sind, ist auch \((-2;-2;-2;-2)^T\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(2\).

Answer 2

Irgendwie scheint deine 4x4-Matrix fehlerhaft zu sein. Das sind doch nur 12 statt 16 Zahlen.

Comments

WICHTIG: Du solltest dringend nochmal nachschlagen, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert. Das Ergebnis ist sicher keine Matrix! Evtl. dann auch die Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren nachschlagen. Außerdem die Regel von Sarrus nachschlagen, wo und wann man die anwendet.

[1, 3, -4, 2; 7, -2, -5, 2; 1, 1, 1, -1; 0, -5, 7, 0]·[1; 1; 1; 1] = [2; 2; 2; 2]

[1; 1; 1; 1] ist Eigenvektor zum Eigenwert 2

[-2; -2; -2; -2] ist dann ebenfalls Eigenvektor zum Eigenwert 2

[1, 3, -4, 2; 7, -2, -5, 2; 1, 1, 1, -1; 0, -5, 7, 0]·[1; 2; 3; 4] = [3; -4; 2; 11]

[1; 2; 3; 4] ist kein Eigenvektor

Answer 3

Man kann es sich hier viel einfacher machen. Da du die Eigenvektoren schon kennst, berechne einfach \(Av\) und prüfe, ob ein Vielfaches vom Vektor herauskommt. Kommt bspw. \(2\cdot v\) heraus, weißt du zudem sofort, dass \(2\) der zugehörige Eigenwert ist.