Eigenvektor zum Eigenwert 1 mit Spaltensumme 1900 zu einer Übergangsmatrix berechnen

Question

Aufgabe:

Langfirstige Untersuchung der täglichen Nutzung verschiedener Verkehrsmittel eioner Großstadt ergab folgende Ergebnisse:
80% der Radfahrer (R) fuhren auch am folgenden Tag mit dem Rad und jeweils 10% wechselten auf den ÖPVN (O) oder auf den PKW (P).

60% der Nutzer des ÖPVN nutzten auch am folgenden Tag den ÖPVN und jeweils 20% wechslten auf das Fahrrad oder den PKW.

50% der PKW Fahrer nutzten auch am folgenden Tag den PKW und jeweils 25% wechselten auf das Fahrrad oder den ÖPVN.

Übergangswahrscheinlichkeiten bleiben konstant.

Aufgabe c) : Berechnen sie zur Übergangsmatrix M einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 mit der Spaltensumme 1900. interpretieren sie ihr Ergebnis im Sachkontext der Aufgabe.

Problem/Ansatz:

kein Ansatz

Comments

Hallo,

- weißt Du, um welche Matrix ex geht?

- weißt Du, was ein Eigenvektor ist?

- weißt Du, wie man ein lineare Gleichungssystem löst?

Gruß

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Ja ich kenn die Matrix und kann auch ein Lineares Gleichungssystem lösen beim eigenvektor bin ich etwas raus.

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Die Eigenvektoren zum Eigenwert 1 sind die nichttriviale Lösungen des LGS

(M-E)x=0

wobei E die Einheitsmatrix sei.

Answer 1

Aloha :)

Die Übergangsmatrix sieht so aus:$$M=\left(\begin{array}{r}& \mathrm R & \mathrm Ö & \mathrm P\\\hline \mathrm R & 0,8 & 0,2 & 0,25\\\mathrm Ö & 0,1 & 0,6 & 0,25\\\mathrm P & 0,1 & 0,2 & 0,5\end{array}\right)$$Wir benötigen einen Eigenvektor zum Eigenwert \(1\), daher müssen wir folgendes Gleichungssystem lösen:

$$\begin{array}{rrrrl}\mathrm R & \mathrm Ö & \mathrm P & = &\mathrm{Operation}\\\hline0,8-1 & 0,2 & 0,25 & 0\\0,1 & 0,6-1 & 0,25 & 0\\0,1 & 0,2 & 0,5-1 & 0\\\hline-0,2 & 0,2 & 0,25 & 0 & \cdot20\\0,1 & -0,4 & 0,25 & 0 & \cdot20\\0,1 & 0,2 & -0,5 & 0 & \cdot10\\\hline-4 & 4 & 5 & 0 & +4Z_3\\2 & -8 & 5 & 0 & -2Z_3\\1 & 2 & -5 & 0 & \\\hline 0 & 12 & -15 & 0 & :12\\0 & -12 & 15 & 0 & +Z_1\\1 & 2 & -5 & 0 & \\\hline 0 & 1 & -1,25 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 & \\1 & 2 & -5 & 0 & -2Z_1\\\hline 0 & 1 & -1,25 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 & \\1 & 0 & -2,5 & 0 &\\\hline\end{array}$$$$\Rightarrow\quad\mathrm Ö=1,25\,\mathrm P\quad;\quad\mathrm R=2,5\,\mathrm P$$$$\Rightarrow\quad\begin{pmatrix}\mathrm R\\\mathrm Ö\\\mathrm P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2,5\,\mathrm P\\1,25\,\mathrm P\\\mathrm P\end{pmatrix}=\mathrm P\begin{pmatrix}2,5\\1,25\\1\end{pmatrix}$$Die Spaltensumme soll \(1900\) sein:

$$1900\stackrel{!}{=}\mathrm P\,(2,5+1,25+1)=4,75\,\mathrm P\quad\Rightarrow\quad\mathrm P=\frac{1900}{4,75}=400$$$$\Rightarrow\quad\begin{pmatrix}\mathrm R\\\mathrm Ö\\\mathrm P\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1000\\500\\400\end{pmatrix}$$