Zeigen Sie, dass v ein Eigenvektor von p(A) zum Eigenwert $p(\lambda)$ ist.\\

Question

Sei K ein Körper, $$p = \sum_{i=0}^{k} \alpha_i t^i \in K[t]$$ ein Polynom und $$A \in K^{n,n}$$. Weiter sei $$\lambda \in K$$ ein Eigenwert von A mit Eigenvektor v.

(a) Zeigen Sie, dass v ein Eigenvektor von p(A) zum Eigenwert $$p(\lambda)$$ ist.

Problem/Ansatz:

Wie genau formiert man eine Matrix mit solchem Polynom (mit Summe)? Wie würde z.B. p(A) aussehen?

Answer 1

Einfach die Matrix für \( t \) im Polynom einsetzen, also
\(\begin{aligned} p(\boldsymbol{A})(\boldsymbol{v})=\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \alpha_{k} \boldsymbol{A}^{\mathrm{k}}\right)(\boldsymbol{v})=\sum \limits_{k=0}^{n} \alpha_{k} \boldsymbol{A}^{\mathrm{k}}(\boldsymbol{v})=\sum \limits_{k=0}^{n} \alpha_{k} \lambda^{\mathrm{k}} \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v} p(\lambda)\end{aligned} \)