3 x 3 Matrix mit v als Eigenvektor und Eigenwert 7?

Question

Hallo ♀️ undzwar bin ich etwas am verzweifeln wegen einer Matheaufgabe zu Matrizen. Diese lautet:

Sei B eine 3 x 3-Matrix und v ein Eigenvektor von B zum Eigenwert 7. Rechnen Sie nach, dass v ebenfalls ein Eigenvektor von der Matrix B+4I (Einheitsmatrix)  ist, und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert.

Weiß vielleicht jemand wie man vorgehen könnte? Vielen Dank im Voraus:)

Answer 1

Aloha :)

\(\vec v\) ist Eigenvektor der Matrix \(\mathbf B\) zum Eigenwert \(7\). Formal heißt das:

$$\mathbf B\cdot\vec v=7\cdot\vec v$$

Wir sollen nun prüfen, ob \(\vec v\) auch ein Eigenwert zur Matrix \((\mathbf B+4\cdot\mathbf1)\) ist.

$$(\mathbf B+4\cdot\mathbf 1)\cdot\vec v=\underbrace{\mathbf B\cdot\vec v}_{=7\cdot\vec v}+4\cdot\underbrace{\mathbf 1\cdot\vec v}_{=\vec v}=7\cdot\vec v+4\cdot\vec v=11\cdot\vec v$$

\(\vec v\) ist also tatsächlich Eigenvektor der Matrix \((\mathbf B+4\cdot\mathbf1)\) mit dem Eigenwert \(11\).

Comments

Hey vielen Dank erstmal rettest mich:D ich wollte noch fragen ob ich die Werte in der Matrix berechnen müsste oder ob die eigenwerte und Eigenvektor unabhängig von denen sind. Wenn ja wie müsste ich da vorgehen?

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Es ist nicht gefordert, die Elemente der Matrix zu berechen. Du sollst allein auf Basis der Information, dass \(\vec v\) ein Eigenvektor zur Matrix \(\mathbf B\) mit Eigenwert \(7\) ist, auf den berechneten Eigenwert kommen. So wie die Antwort geschrieben ist, ist die Aufgabe vollständig gelöst.

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Okay danke nochmal:)