Warum handelt es sich um eine Fixgerade und nicht um eine Fixpunktgerade?

Question

Hallo

Handelt es sich bei folgender Aufgabe nicht um eine Fixpunktgerade, da die eine Variabel der anderen addiert mit einer Zahl entspricht? Handelt es sich nur dann um eine Fixpunktgerade, wenn die eine Variabel ein Vielfaches der anderen ist?

Aufgabe; Bestimmen Sie dei Fixpunkte der Abbildung zu Vektor x= A*(Vektor x) + Vektor v

A=((-1,4),(3,-5)

Vektor v= ((6),(-9))

Lösungsweg:

A*((x), (y)) + Vektor v= ((x),(y))

-x+4y + 6=x

3y-5y-9=y

daraus folgt y bzw. x beliebig und x bzw. y = x bzw, y +3

Somit handelt es sich um eine Fixgerade  (kein Fixpunkt, keine FIxpunktgerade)

Wenn y=c*x  (c beliebige Zahl) wäre, handelt es sich um eine Fixpunktgerade, und wenn x und y bestimmte Zahlen wären um einen Fixpunkt, oder?

Danke

Answer 1

-x+4y + 6=x

3y-5y-9=y

daraus folgt  mal erst

x - 2y = 3  und  0 = 0
Also hat das Gl. system unendlich viele Lösungen,
also gibt es unendlich viele Fixpunkte, nämlich alle,
für die gilt    x - 2y = 3
bzw   y = x/2 - 3/2
Also alle Punkte auf dieser Geraden g  sind Fixpunkte.
z.B.  ( 1  ;  - 1 ) denn
A * ( 1 ; -1 ) + (6 ; - 9 ) = (1 ; - 1 )

etc.   Also alle Punkte auf dieser Geraden g  sind Fixpunkte,
also ist es eine Fixpunktgerade.
Es ist natürlich auch eine Fixgerade, denn  das Bild von g
ist wieder g

Comments

Danke, handelt es sich nicht um eine Fixgerade, da ja ein Punkt nicht auf sich selber abgebildet wird, sondern auf der selben Gerade um 3 in y Richtung verschoben?

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Ich meine nicht. Rechne doch z.B.

A * [1;-1] +[6;-9]

= [-5 ; 8 ] +[6;-9]

= [1;-1]

Also ist das Bild von (1 ; -1 ) wieder genau (1;-1)

also ist das ein Fixpunkt.

und das sind alle auf dieser Geraden.

z.B. auch

A * [2;-0,5] +[6;-9]  = [ 2 ; -0,5 ].

rechne mal nach.

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Danke, ich komme nicht ganz nach, wann handelt es sich dann um eine Fixgerade? Es kann bei einem Gleichungsystem aus zwei Gleichungen, das bei der Bestimmung der Eigenvektoren gelöst wird, eine keine oder zwei Lösungen geben, wobei keine Lösung= keine Eigenvekotren, eine Lösung(entweder x oder y)=Fixgerade, zwei Lösungen(x und y)= Fixpunkt.

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Kann man stattdessen, auch die Eigenwerte bestimmen, und daraus schliessen ob eine Fixgerade oder eine Fixpunktgerade oder ein Fixpunkt vorliegt? Dabei ergibt sich ein Fixpunkt, wenn es einen Eigenwert gibt, eine Fixgerade, wenn es zwei Eigenwerte ungleich 1 gibt und eine Fixpunktgerade wenn es zwei Eigenwerte mit mindestens einen Eigenwert=1 gibt? Was wäre bei zwei Eigenwärten vom Betrag 1? Ergäbe sich eine Fixebene?

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Beispiel Geradenspiegelung:
Die Spiegelachse ist eine Fixpunktgerade jede Senkrechte zur
Spiegelachse ist eine Fixgerade, die keine Fixpunktgerade ist.

Zwei Eigenwerte = 1 bzw. Eigenwert 1 mit zwei lin. unabhängigen
Eigenvektoren gibt in der Tat sowas wie eine Fixebene.
Also nur der Matrix
1 0
0 1
Die die identische Abb. beschreibt.