Sei G eine Fixgerade unter f, also \(f(G)=G\), G wie oben beschrieben.
Dann gilt \(f(v) \in G\), d.h. (b) ist trivial erfüllt. Außerdem existiert demnach ein p, so dass
$$f(v)=Av+b=v+pw$$
Ebenso existier ein q, so dass
$$f(v+w)=Av+Aw+b=v+qw$$
Subtrahiert man beide Gleichungen, folgt
$$Aw=(q-p)w$$
Also ist w ein Eigenvektor von A, d.h. (a) ist erfüllt.
Umgekehrt: Wenn (a) und (b) gelten, so existieren \(p,r \in \R\) mit
$$f(v)=Av+b=v+pw, \qquad Aw=rw$$
Dann gilt für alle \(x=v+tw \in G\)
$$f(x)=Av+b+tAw=v+pw+trw=v+(p+tr)w \in G$$
Wenn umgekehrt ein \(y \in G\) gegeben ist, kann man analog eine \(x \in G\) bestimmen mit \(y=f(x)\)