Fixgerade Eigenvektoren und Element der Fixgerade

Question

Aufgabe:

G ist genau dann eine Fixgerade von f , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt
sind:
(a) w ist ein Eigenvektor von L_A zu einem Eigenwert λ ≠ 0.
(b) f (v) ∈ G

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht so recht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen bzw. sie lösen soll

Comments

Könnte es sein, dass noch etwas über G mitgeteilt ist - etwa, was G mit v und w zu tun hat?

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Was soll \(L_{A}\) und was \(v\) sein?

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@Mathhilf

Sei f : R² → R² eine affin-lineare Abbildung (d. h. f(x) = Ax + b für A ∈ Mat(2,R) und
b ∈ R²). Eine (affine) Gerade G = {v + tw : t ∈ R} für v,w ∈ R², w ≠ 0 heißt Fixgerade
von f, wenn f(G) = G gilt. Sie heißt Fixpunktgerade, wenn f(g) = g für alle g ∈ G gilt.

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Ok - jetzt fehlt noch die Info um was es sich bei \(L_A\) handelt.

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Soweit ich weiß, meint das die lineare Abbildung, zumindest haben wir das in anderem Kontext mal so verwendet.

Answer 1

Sei G eine Fixgerade unter f, also \(f(G)=G\), G wie oben beschrieben.

Dann gilt \(f(v) \in G\), d.h. (b) ist trivial erfüllt. Außerdem existiert demnach ein p, so dass

$$f(v)=Av+b=v+pw$$

Ebenso existier ein q, so dass

$$f(v+w)=Av+Aw+b=v+qw$$

Subtrahiert man beide Gleichungen, folgt

$$Aw=(q-p)w$$

Also ist w ein Eigenvektor von A, d.h. (a) ist erfüllt.

Umgekehrt: Wenn (a) und (b) gelten, so existieren \(p,r \in \R\) mit

$$f(v)=Av+b=v+pw, \qquad Aw=rw$$

Dann gilt für alle \(x=v+tw \in G\)

$$f(x)=Av+b+tAw=v+pw+trw=v+(p+tr)w \in G$$

Wenn umgekehrt ein \(y \in G\) gegeben ist, kann man analog eine \(x \in G\) bestimmen mit \(y=f(x)\)