Bestimmen der Eigenwerte und ihre Eigenvektoren

Question

Wir betrachten die Reflexion \( \operatorname{ref}_{G}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) an \( G=\mathbb{R}(1,1) \) gegeben durch die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \). Bestimmen Sie nun zu dieser Abbildung alle Eigenwerte und zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor. Fertigen Sie darüber hinaus eine Skizze an, in der sowohl beide Eigenvektoren, als auch ihr Bild unter der Abbildung \( \operatorname{ref}_{G} \) eingezeichnet sind.

Ich hab für die Eigenwerte λ₁ = 1 und λ₂ = -1, falls das richtig ist, wie bestimme ich nun die Eigenvektoren?

Danke im Voraus!

Answer 1

Deine Eigenwerte sind völlig richtig

Die Bestimmungsgleichung für Eigenvektoren wäre

$$M \cdot \overrightarrow{v} = k \cdot \overrightarrow{v} \newline M \cdot \overrightarrow{v} - k \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \newline M \cdot \overrightarrow{v} - k \cdot E \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \newline \left( M - k \cdot E \right) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$$

Setzt dort also M und k ein und bestimme damit den Vektor v. Willst du das mal probieren? E ist übrigens die Einheitsmatrix.

Comments

Konkret geht das beim Eigenwert k = 1 also um folgende Gleichung

\( \left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \cdot \vec{v}=\overrightarrow{0} \)

Beim Eigenwert von k = -1  wäre dies dann folgende Gleichung

\( \left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \cdot \vec{v}=\overrightarrow{0} \)

---

ja genau das hab ich auch raus

---

und was muss ich mit den beiden Matrizen dann machen genau?

---

Setze für v den Vektor [x; y] ein und löse das lineare Gleichungssystem.

\( \left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\overrightarrow{0} \)

\( -x+y=0 \)
\( x-y=0 \)

---

Okay und wie sieht dann die Abbildung aus? Bzw. die Skizze mit der Reflexion

---

Die Skizze mit den Eigenvektoren u und v würde dann so aussehen.

u' und v' sind die Vektoren nach der Abbildung.

---

Das Lineare Gleichungssystem sagt ja dann einfach aus x=y und y = x also umgedreht,

aber bei dem anderen Gleichungssystem gilt doch x= -y und y = -x , oder nicht?

---

Genau also alle Vektoren der Form [x ; y] = [x ; x]

Also alle Vielfachen von [1 ; 1] also auch [2 ; 2] ; [3 ; 3] etc.

Oder für den zweiten Eigenvektor alle Vektoren der Form [x ; y] = [x ; - x]

Also alle Vielfachen von [1 ; - 1] also auch [2 ; - 2] ; [3 ; - 3] etc.

Bedenke, es müssen keine ganzzahligen Vielfache sein.

Allgemein kann in k * [1 ; - 1] der Wert k jeden beliebigen Wert außer Null annehmen.

---

Also für den Eigenwert 1 ist doch dann der Eigenvektor (1,1), da x = y, y= x gilt aus dem Gleichungssystem und der für den Eigenwert -1 sollte dann doch (-1,-1) sein oder nicht? Weil x = -y und y= -x , oder denke ich da falsch

---

Da denkst du verkehrt.

[-1 ; -1] = -1 * [1 ; 1] und damit ein Vielfaches zum Eigenvektor zum Eigenwert 1.

---

Ja stimmt, aber wie genau komme ich dann auf (1,-1)?

---

y = - x bedeutet doch ein Vektor von

[x ; y] = [x ; - x]

Also alle Vielfachen von [1 ; - 1] also auch [2 ; - 2] ; [3 ; - 3] etc.

Das habe ich fast exakt so etwas weiter oben geschrieben.

---

Ah ich verstehe endlich, das hat sich sehr lange gezogen, tut mir leid aber ich bedanke mich! Hatte einfach zu kompliziert gedacht.

Answer 2

Du setzt die EW ein und löst die GLSe

\(\left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-1&\left(\begin{array}{rr}1&1\\1&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&1&\left(\begin{array}{rr}-1&1\\1&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(EV \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\\\end{array}\right)\)

Answer 3

Jeder Vektor der Spiegelachse bleibt fix,

also ist \((1,1)^T\) Eigenvektor zu EW 1.

Jeder Vektor senkrecht zur Spiegelachse wird

umgedreht, also ist \((1,-1)^T\) Eigenvektor zum

EW -1.

Comments

Kann man das auch anders zeigen und nicht mit der Spiegelachseneigenschaft erklären?

---

und die Eigenvektoren unterscheiden sich auch zur ersten Antwort oben.

---

Klar!

Die Matrix vertauscht x und y, also bleibt \((1,1)^T\) fix

und \((1,-1)^T\) geht über in \((-1,1)^T=(-1)(1,-1)^T\).

Eigenvektoren sind nur bis auf skalare Faktoren eindeutig

bestimmt. Also sind \((1,-1),(-1,1),(7/8,-7/8)\) alles Eigenvektoren

zum EW -1.

---

Ich verstehe nicht ganz wie man da auf die (7/8, -7/8) kommt

---

\((7/8,-7/8)=7/8\cdot (1,-1)\).

Alle skalaren Vielfachen \(\neq 0\) eines Eigenvektors

sind Eigenvektoren zum selben EW.

---

Wieso genau vertauscht die Matrix x und y? Ich verstehe nicht genau woher das kommt.

und \( (1,-1)^{T} \) geht über in \( (-1,1)^{T}=(-1)(1,-1)^{T} \).

der Teil kommt mir auch komisch vor, ich weiß einfach nicht wie ich da drauf kommen soll. Klingt jetzt vielleicht etwas dumm, tut mir leid.

---

$$\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}y\\x\end{array}\right)$$

---

Aber warum genau muss ich das so rechnen

---

Aber warum genau muss ich das so rechnen

Worum geht es dir den jetzt genau.

Du hattest ja bereits völlig richtig die Eigenwerte berechnet. Hast du verstanden, wie man die Eigenvektoren berechnet?

Und da das Vielfache eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor ist gibt man die einfachsten Eigenvektoren an. Also meist die Vektoren mit kleinsten ganzzahligen Werten als Komponenten.

[1; 1] ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

[1; -1] ist ein Eigenvektor zum Eigenwert -1.

Davon unabhängig kann man sich generell Fragen was mit einem beliebigen Punkt bei der Abbildung passiert. Dazu kann man also eifach die Abbildung mit einem allgemeinen Ortsvektor [x; y] durchführen.

Dort kommt dann [y; x] heraus. Das sagt dir jetzt das die Abbildung allgemein die x und die y Komponente vertauscht. Dieses passiert aber auch genau dann, wenn man einen Punkt an der 1. Winkelhalbierenden des Koordinatensystems spiegelt.

---

Nein eben genau wie man die Eigenvektoren berechnet verstehe ich nicht ganz, mag zwar etwas dumm klingen, aber ich kann irgendwie nicht nachvollziehen wie man darauf kommt...

---

Ich mache da eine eigenständige Antwort draus.