eigenwerte und Charakteristisches Polynom

Question

Aufgabe:

Sei nun

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\  2 & 2 & 2 \\  3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \) ∈ℝ 3x3

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von A.

Ist A diagonalisierbar ?

Problem/Ansatz:

Um die Eigenwerte zu berechnen muss ich det(A-λ·E)

\( \begin{pmatrix} 1-λ & 2 & 3 \\  2 & 2-λ & 2 \\  3 & 2 & 1-λ\end{pmatrix} \) dann wende ich Sarrus an allerdings komme ich nicht auf das charakteristische Polynom.

Answer 1

Wieso kommst du nicht auf das charakteristische Polynom?

$$det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 2 & 2-\lambda & 2 \\ 3 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix}\\=(1-\lambda)^2(2-\lambda)+12+12-9\cdot (2-\lambda) - 4 \cdot (1-\lambda) - 4 \cdot (1-\lambda) \\ = (1-\lambda)^2(2-\lambda)+24-9\cdot (2-\lambda) - 8 \cdot (1-\lambda) \\ = (1-\lambda)^2(2-\lambda)-2+17\lambda \\= (1-\lambda)^2(2-\lambda)-(2-\lambda)+16\lambda \\ = (2-\lambda)((1-\lambda)^2-1)+16\lambda \\ = (2-\lambda)(-2\lambda+\lambda^2)+16\lambda \\ = (2-\lambda)\cdot \lambda \cdot (-2+\lambda) + 16 \lambda \\ = \lambda \cdot ((2-\lambda)(\lambda-2)+16)$$

Nun folgen die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms mit $$\lambda_1=0, \ \lambda^2-4\lambda-12=0 \Rightarrow \lambda_2=-2, \ \lambda_3=6$$

Damit ist die Matrix auch diagonalisierbar, da es zu der 3x3 Matrix hier auch 3 Eigenwerte gibt.

Comments

ich habe so viele Aufgabe versucht zu lösen und jedes mal verrechne ich mich...

ob ich (λ-1) ausklammern oder nicht, gibt es da irgendwie eine Vorgehensweise ?

Deine Lösung verstehe ich, aber sobald ich versuche selbst etwas zu lösen scheitert es....

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Du hättest hier auch alternativ die "Normalform" des Polynoms durch Ausmultiplizieren bilden können. In diesem Fall hättest du aufgrund der 0 als Eigenwert ein Polynom 3. Grades erhalten, von dem du hättest λ ausklammern können (dann z.B. den anderen Faktor mithilfe Linearfaktorzerlegung / pq-Formel auswerten), i.e.:

$$(1-\lambda)^2(2-\lambda)+24-9\cdot (2-\lambda)-8\cdot (1-\lambda) \\= -\lambda^3+4\lambda^2+12\lambda \\= -\lambda \cdot (\lambda^2-4\lambda-12)$$

Das lässt sich aber nicht immer so leicht erledigen (damit ist insgesamt auch exponentieller Aufwand verbunden) und das Finden von Linearfaktoren für größere Polynomgrade ist dann auch nicht mehr wirklich schön.

Ich gehe aber mal davon aus, dass bei euren Aufgaben die Polynomgrade recht klein und die Eigenwerte recht "normal" sind, weshalb das Ausmultiplizieren dann in vielen Fällen nicht abwegig ist.

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ich habe so viele Aufgabe versucht zu lösen und jedes mal verrechne ich mich...

Wenn es nur das verrechnen ist kannst du ein Rechentool zur Selbstkontrolle und Unterstützung nehmen. Damit kannst du schnell deine eigenen Fehler finden.

Hier z.B. mit der Unterstützung von Photomath

https://photomath.net/s/MjERXA

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=(1-λ)^2 (2-λ)+ 24-9(2-λ)-8(1-λ)

=(1-λ)^2(2-λ)+24-9(2-λ)-8(1-λ)

=2-λ+2λ^2-λ^3-2+17λ

=-λ^3+2λ^2+16λ

=λ(-λ^2+2λ+16)

Ich weis nicht was ich falsch mache..