a) Zu bestimmen ist hier det(A - k*E)
(2 - k) * (6 - k) * (-3 - k) - 20 * (-1) * (2 - k) = -k^3 + 5k^2 - 8k + 4
b) Hier ist das charakteristische Polynom gleich Null zu setzen
-k^3 + 5k^2 - 8k + 4 = 0
Man findet hier über eine Wertetabelle die Nullstellen
k2 = 2
k3 = 1
c) Jetzt sind zu jedem Eigenwert die Eigenvektoren zu bestimmen
Für den Eigenwert 1
[2 - 1, -8, 2; 0, 6 - 1, -1; 0, 20, -3 - 1]·[a; b; c] = [0; 0; 0]
Das gibt die Lösung a = -2/5·c ∧ b = c/5
Losungsvektor ist daher [-2/5·c, c/5, c] = 1/5 * c * [-2, 1, 5]
Für den Eigenwert 1
[2 - 2, -8, 2; 0, 6 - 2, -1; 0, 20, -3 - 2]·[a; b; c] = [0; 0; 0]
b = c/4
Losungsvektor ist daher [a, c/4, c] = a * [1, 0, 0] + 1/4 * c * [0, 1, 4]
Die Lösungsvektoren sind Basis des zugehörigen Eigenraums.