Die Eigenwerte von I-A müssten dann 1-λ sein, da (I-A)v=Iv-Av=v-λv=(1-λ)v oder?

Question

Aufgabe:

|||A|||:=\( \frac{ ||Av||}{||v||} \) mit v≠0 und A ist eine NxN Matrix.

Die Einheitsmatrix wird als I bezeichnet.

Ich soll jetzt zeigen, dass wenn |||A|||<1 ist, I-A invertierbar und es (I-A)^-1= \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^k} \) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe die invertierbarkeit mit den EW gezeigt, da der Betrag des EW von A (λ )<1 ist (Einsetzen von λv anstatt Av in \( \frac{ ||Av||}{||v||} \) )

Die Eigenwerte von I-A müssten dann 1-λ sein, da (I-A)v=Iv-Av=v-λv=(1-λ)v ist oder?

Aber wie zeige ich dass (I-A)^-1= \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^k} \) gilt

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{A^k} \)

Answer 1

Aber wie zeige ich, dass \((I-A)^{-1}=  \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^k} \) gilt

Betrachte \((I-A) \cdot   \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^k} \)

        \( =  I \cdot    \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^k} - A\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^k} \)

\( =    \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^k} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^{k+1}} \)

Die Summen unterscheiden sich nur um den ersten Summanden links, also ist

das Ergebnis \(   A^0 = I \) . Und wenn das Produkt

\((I-A) \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{A^k} \) gleich I ist, ist der eine

Faktor das Inverse vom anderen.    q.e.d.