Eigenwerte, Eigenvektoren. f Endomorphismus eines K-Vektorraums V...Zeige, dass av + bw kein Eigenvektor von f ist.

Question

Sei f ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V und v,w ∈ V Eigenvektoren von f zu unterschiedlichen Eigenwerten. Weiter seien a, b ∈ K von 0 verschieden. Zeige, dass av + bw kein Eigenvektor von f ist.

Answer 1

Da f ein Endomorphismus eines K-Vektorraums V ist, haben wir dass $$f(av+bw)=f(av)+f(bw)=af(v)+bf(w)$$ 

Seien λ, μ Eigenwerte. sodass v ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ ist und w ein Eigenvektor von f zum Eigenwert μ ist. Wir haben also dass $$f(v)=\lambda v \ \text{ und } \ f(w)=\mu w$$ 

Wir bekommen also folgendes: $$f(av+bw)=af(v)+bf(w)=\lambda av+\mu bw$$ 

Der Vektor av+bw wird in kein Vielfaches seiner selbst abgebildet. Daher ist es kein Eigenvektor von f. 

Comments

Der Vektor av+bw wird in kein Vielfaches seiner selbst abgebildet.

Muss man da nicht etwas mehr argumentieren ? Etwa

unter Benutzung der Tatsache, dass v und w lin. unabh. sind ,

weil es Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind.

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Ja, genau!! Der Vektor av+bw wird in kein Vielfaches seiner selbst abgebildet, da  a, b ≠ 0 und v und w linear unabhängig sind.