Aufgabe:
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f, g : V → V seien Endomorphismen mit der Eigenschaft f ◦ g = g ◦ f (z. B. g = f* für einen normalen Endomorphismus f eines unitären Raums V , oder g = f-1 für ein invertierbares f, . . . ). Zeigen Sie:
(a) Ist λ Eigenwert von f, so ist der Eigenraum Eλ := ker(f − λ idV ) invariant unter g, d.h. g(Eλ) ⊆ Eλ.
(b) Hat f insgesamt n verschiedene Eigenwerte, so ist g diagonalisierbar und jeder Eigenvektor von f ist ein Eigenvektor von g.
(c) Sind f und g diagonalisierbar, so gibt es eine Basis von V , deren Vektoren sowohl Eigenvektoren von f als auch von g sind.
Hinweis: Aufgabe 3 von Blatt 12 für g|Eλi verwenden.
Aufgabe 3 von Blatt 12: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f : V → V sei ein diagonalisierbarer Endomorphismus. Zeigen Sie: Ist E ⊆ V ein f-invarianter Unterraum, d. h. gilt f(x) ∈ E für alle x ∈ E, so ist die Einschränkung f|E diagonalisierbar.
