av+bw kein Eigenvektor beweisen

Question

Aufgabe:

Soll zeigen, dass für B ∈ ℝ^nxn mit Eigenvektoren v,w ∈ ℂⁿ und a,b ∈ ℂ von 0 verschieden, av+bw kein Eigenvektor von B ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war jetzt, dass Bx=x(av+bw) lösbar sein muss

Da Bv=av ist und Bw=bw folgt

Bv+Bw=av+bw

av+bw= c

Bv+Bw=x(av+bw)

Komme da irgendwie zu nichts sind meine Notizen

Comments

Sollen v und w zwei Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sein?

Answer 1

Hi, wenn \( v \) und \( w \) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind, sind sie linear unabhängig.

Aus $$ B (av + bw) = \mu (av+bw) $$ folgt $$ aBv +bBw = a\lambda_1 v + b \lambda_2 w = \mu av + \mu b w $$ mit \( \lambda_1 \ne \lambda_ 2\)

D.h. es gilt $$ (\lambda_1 - \mu)av + (\lambda_2-\mu) bw = 0  $$ D.h. aber \( \lambda_1 = \lambda_2 \) im Widerspruch zur Annahme. Also ist \( av +bw \) kein Eigenvektor von \( B \)

Comments

Wieso folgt daraus, dass phi 1 = phi 2 sein muss?

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Wenn \( v \) und \( w \) linear unabhängig sind, gilt doch für beliege \( \alpha_i \), dass aus

$$ \alpha_1 v + \alpha_2 w = 0  $$ \( \alpha_1 = \alpha_2 = 0 \) gilt.

In Deinem Fall ist es so, das \( \alpha_1 = \lambda_1 - \mu \) und \( \alpha_2 = \lambda_2 - \mu \) gilt. Damit folgt \( \alpha_1 = \lambda_1 - \mu = 0 \) also \( \lambda_1 = \mu \) und ebenfalls \( \lambda_2 = \mu \). Damit aber auch \( \lambda_1 = \lambda_2 \)

Die Buchstaben heissen übrigens nicht phi sondern lambda.

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Dann noch die Frage wieso man etwas gleichsetzt, das davor nicht gleich sein sollte

aλ1v+bλ2w=μav+μbw

da setzt man ja schon Lambda 1 und 2 gleich

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Die linke Seite kommt wegen der Linearität bzgl. der Matrixmultiplikation zustande und die rechte weile \( av + bw \) ein Eigenvektor sein soll, was dann zum Widerspruch geführt werden soll.

Mal nebenbei, was studierst Du? Weil diese Aufgabe ist für Mathematiker eigentlich Standard.

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Ok schon verstanden hatte die Formel auch noch falsch rechte Seite wäre ja aus meinem A(av+bw)=x(av+bw) die rechte Seite

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