Ist bei Endomorphismen bzgl. eines eindimensionalen Vektorraums, jeder Vektor ≠0 ein Eigenvektor?

Question

Sei A: V -> V ein beliebiger Endomorphismus, mit dim V =1 und V sei ein Vektorraum über den Körper K.

Nun frage ich mich, ob in diesem Fall für jeden Vektor v∈V, grundsätzlich ein  λ∈K existiert, so dass gilt: A(v)=λv .

Meine Begründung:

Da die Bilder von A in V enthalten sind, und insbesondere Elemente vom Körper K sind, da jede Komponente von v∈V aus K und es gibt nur eine Komponente. Und per Definition eines Körpers, jedes Element aus K durch jedes andere Element ≠0 aus K teilbar ist, findet man für jedes w=A(v) ein λ, sodass w=A(v)=λv, da w durch v teilbar ist.

Stimmt es, dass bei Endomorphismen bzgl. eines eindimensionalen Vektorraums, jeder Vektor v∈V,v ≠0, ein Eigenvektor ist? Und ist meine Begründung ausreichend?

Answer 1

"findet man für jedes w=A(v) ein λ, sodass w=A(v)=λv, da w durch v teilbar ist."

reicht als Begründung wohl nicht. Du musst ja zeigen, dass diese Lambdas

alle gleich sind.

Aber in der Art kann man wohl schon argumentieren:

Wegen dim(V)=1 gibt es eine Basis mit einem Element v ( ungleich 0, da lin. unabhängig).

Dann ist Av = w und wegen w∈V ist w durch die Basis darstellbar mit w = λv.

Sei nun u irgendein Element aus V, dann ist auch u durch die Basis darstellbar,

etwa  u = k*v mit einem k ∈ K.

Also ist Au = A(k*v)

Wegen der Linearität   A( k*v) = k*A(v) = k*w = k* ( λv) =  λ*(kv) =  λu.

Also Au =  λu   für alle u∈V.

Also sind außer dem 0-Vektor, alle Vektoren Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert.

Comments

Danke für deine Antwort ! :)

Achso, es gibt auch nur einen Eigenwert zu allen Eigenvektoren von A, kannst du es mir in ganz "einfachen" Worten erklären, warum das so ist? Für dich war das ja - vermute ich - direkt klar, ich sehe es erst nach den Überlegungen von unten ( Oh, während ich geschrieben habe, fällt mir eine sehr einfach Begründung ein, siehe 3))

Begründen würde ich es so:

1)

Angenommen es gibt einen weiteren Eigenwert μ∈K mit A(u)=μu und μ≠λ, wobei u∈V, dann gilt:

μu=A(u)=A( k*v) = k*A(v) = k*w = k* ( λv) =  λ*(kv) =  λu  -> μ=λ

Was im Prinzip, das ist, was du gemacht hast, aber "Au" habe ich als A(u) interpretiert, somit hättest du ja erstmal nur gezeigt, dass λ ein Eigenwert zu u ist.

2)

Ich könnte es auch mit dem charakteristischen Polynom erklären, wobei A∈K^1x1 und A=λ (Darstellungsmatrix von A: K ->K mit Basis v):

det(x*id₁-A) = det (x-λ)=x-λ=0 -> x=λ (einzige Lösung)

Meine Begründungen wirken aber unnötig kompliziert...

3) Angenommen es gibt einen weiteren Eigenwert μ∈K mit A(u)=μu und μ≠λ, wobei u∈V, da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten linear unabhängig sind, wären dann u und v linear unabhängig, aber v Basis von V, was ein Widerspruch wäre....

Sry, falls der Post unnötig lang wirkt, aber es ist beim Schreiben etwas ausführlicher geworden, als ich erwartet habe. Ich freue mich dennoch über Feedback, was meine Begründungen angeht, dabei mache ich oft Fehler.

Answer 2

Hallo

 ausser dass der 0 Vektor immer ein trivialer Eigenvektor ist hast du recht.  aber 1d VR sind auch recht uninteressant.

Gruß lul

Comments

Danke für deine Antwort, es geht um einen Induktionsanfang, bei dem dim V=n=1 gesetzt wird, und dann anscheinend ganz selbstverständlich genutzt wird, dass bei beliebigen Endomorphismen bzgl. eines eindimensionalen Vektorraums, jeder Vektor v∈V,v ≠0, ein Eigenvektor des EIgenwertes λ∈K ist.
Für solche Fälle scheinen mir die 1dim-VRs ganz nützlich :)
Ich dachte der Nullvektor wird sozusagen „herausdefiniert“, wenn es um die Beschreibung eines Eigenvektors geht?
Beispiel:
https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem#Definition