Gegeben seien zwei Endomorphismen f, g eines (endlich-dimensionalen) euklidischen Vektorraums (V, ⟨·, ·⟩). Zeigen Sie:

Question

Aufgabe: Gegeben seien zwei Endomorphismen f, g eines (endlich-dimensionalen) euklidischen Vektorraums (V,⟨•,•⟩). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

a) Sind f und g selbst-adjungiert, so gilt

f = g ⇔ ∀v ∈ V: ⟨f(v),v⟩ = ⟨g(v),v⟩.

b) Die Äquivalenz aus Teilaufgabe a) gilt im Allgemeinen nicht, wenn f und g nicht als selbst-adjungiert vorausgesetzt werden.

Kann mir bitte jemand helfen oder einen Ansatz geben?

Answer 1

Hallo,

ich gehe davon aus, dass es sich um einen reellen euklidischen Vektorraum handelt. Benutze zunächst die Linearität von f und die Eigenschaften des Skalarprodukts. Für beliebige x,y:

$$<f(x-y),x-y>=<f(x)-f(y),x-y>$$

$$=<f(x),x>-<f(x),y>-<f(y),x>+<f(y),y>$$

$$=<f(x),x>-2<f(x),y>+<f(y),y>$$

Für den letzten Schritt wird die Selbstadjungiertheit von f und die Symmetrie des Skalarprodukts benutzt.

Für g gilt dieselbe Gleichung. Nutzt man jetzt die rechte Seite der Äquivalenz aus für v=x-y, v=x und v=y, dann folgt für beliebige y,x:

$$<f(x),y>=<g(x),y> \Rightarrow <f(x)-g(x),y>=0$$

Setzt man noch \(y=f(x)-g(x)\), so folgt: \(f(x)=g(x)\)

Ohne Selbstadjungiertheit ist die Aussage falsch. Man nehme im \(R^2\) die Null-Abbildung und die Drehung um \(90°\)

Gruß

Comments

Tipp:

Schreibe statt <f(x-y),x-y>:

\langle f(x-y),x-y\rangle 

Ausgabe: \(\langle f(x-y),x-y\rangle\)