Question

Sei K ein Körper und n ∈ ℕ. Sei α: V → V ein Endomorphismus eines n-dimensionalen K-Vektorraums V.

Für m ∈ ℕ, bezeichne α^m : V → V die m-fache Hintereinanderausführung von α. Weiter seien U_m= Kern(α^m) und W_m= Bild(α^m).

(a) Zeigen Sie: {0} ⊆ U1 ⊆ U2 ⊆ . . . ⊆ Un.

(b) Zeigen Sie weiter: U_n = U_n+1 = . . . = U_2n = . . ..

(c) Folgern Sie: V = U_n ⊕ W_n.

(d) Geben Sie für K = F₂, n = 3 ein α: F³₂ → F³₂ an, für das U₂∩W₂ ≠{0}.