Question

Sei f : V → V ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen
Vektorraums uber dem endlichen Primk örper K = ((IF11. Angenommen, die
dreifache Verkettung f³= f ◦ f ◦ f ist die Identitätsabbildung id_V .
(i) Zeigen Sie, dass nur λ = 1 ein Eigenwert sein kann.
(ii) Folgern Sie, dass f diagonalisierbar ist genau dann, wenn f = id_V gilt.
(iii) Konstruieren Sie ein nicht-diagonalisierbares Beispiel mit V = (IF11)²

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Titel: Sei f : V → V ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen...

Stichworte: endomorphismus,vektorraum,kern,bild,polynom

Sei f : V → V ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen
Vektorraums uber dem endlichen Primkörper K = F₁₁. Angenommen, die
dreifache Verkettung f³ = f ◦ f ◦ f ist die Identitätsabbildung id_V .
(i) Zeigen Sie, dass nur λ = 1 ein Eigenwert sein kann.
(ii) Folgern Sie, dass f diagonalisierbar ist genau dann, wenn f = id_V gilt.
(iii) Konstruieren Sie ein nicht-diagonalisierbares Beispiel mit V = (F₁₁)²

^:)

Answer 1

Sei k ein Eigenwert von f, dann gibt es ein v≠0 mit f(v)=k*v, also

f(f(f(v))) = k^3*v und wenn   f ◦ f ◦ f = idV  ist, dann muss

k^3 = 1 sein.

In F₁₁ geht das aber nur für k=1 wie die Betrachtung aller Möglichkeiten

0^3=0  , 1^3 = 1  2^3=8  3^3=5   4^3=9 etc zeigt.

Also kann nur 1 ein Eigenwert sein.

ii) Wenn f diagonalisierbar ist, gibt es eine

Basis aus lauter Eigenvektoren, etwa v1,v2,v3.

Da jeder Vektor v aus V eine Linearkomb. der

Basisvektoren ist etwa v=av1+bv2+cv3 gilt

f(v) = f(av1+bv2+cv3 )  wegen der Linearität also

      =af(v1)+b*f(v2)+cf(v3)  und weil es alles Eigenvektoren

zum Eigenwert 1 sind

         =a*1*v1+b*1*v2+c*1*v3

         = av1+bv2+cv3  = v

also f(v)=v für alle v aus V  ==>  f = id_V