Es sei F: V→V ein Endomorphismus des Vektorraums V. Die Potenzen von F sind definiert als Fo:= idV,F^{n+1}:=F°F^n ,n∈N.

Question

Es sei F : V → V ein Endomorphismus des Vektorraums V . Die Potenzen von F sind
definiert als F⁰ := idV , Fⁿ⁺¹ := F ° Fⁿ , n ∈ N. Es sei nun v ∈ V , so dass für ein n ∈ N:
      Fⁿ(v) ≠ 0 und Fⁿ⁺¹(v) = 0
Zeigen Sie, dass dann (F⁰(v),...., Fⁿ(v)) linear unabhängig ist.

Tipp zu der Aufgabe:

Endomorplismus: Homom. mit \( v=\omega \) \( F: V \rightarrow v \) (linear)
\( F^{\circ}(v), \ldots, F^{n}(v) \)
\( \sum \lambda_{i} f^{i}(v)=0 \)
\( F( \) linear): \( F(\lambda v+\beta \omega)=\alpha F(v)+\beta F(\omega) \)
\( \forall \alpha \cdot \beta \in K \neq v, \omega \in V \)
\( F^{\circ}=i d v \sim F^{\circ}(v)=v \)
\( F^{\prime}(\forall)=F(v) \)
\( F^{2}(v)=F(F(v)) \)

Comments

kann mir wirklich keiner mit dieser Aufgabe helfen ?

Answer 1

Sei \(c_0F^0(v)+\cdots+c_nF^n(v)=0\quad(*)\).

Wir wenden die lineare Abbildung \(F^n\) auf diese Gleichung an:

\(c_0F^n(v)+c_1F^{n+1}(v)+\cdots +c_nF^{2n}=0\)

Wegen \(F^{n+1}(v)=0\) und daher auch \(F^{n+i}(v)=0\) für \(i>0\) folgt:

\(c_0F^n(v)=0\Rightarrow c_0=0\).

Damit verkürzt sich \((*)\) zu

\(c_1F^1(v)+\cdots +c_nF^n(v)=0\)

Hierauf wende man \(F^{n-1}\) an und es folgt analog \(c_1=0\).

So fortfahrend bekommt man sukzessive \(c_0=c_1=\cdots=c_{n-1}=0\).

\((*)\) schrumpft dann auf \(c_nF^n(v)=0\), also \(c_n=0\) zusammen, womit die

lineare Unabhängigkeit bewiesen ist.