Abbildungsmatrizen, Endomorphismus bestimmen

Question

Ich habe folgende Aufgabe und leider echt überhaupt keine Ahnung wie ich sie angehen soll, wäre für Hilfe sehr dankbar.

Es sei B := {b1,...,b5} eine Basis eines reellen Vektorraums V und Φ ein Endomorphismus von V mit:Φ(b1) = 4b1 +2b2 −2b4 −3b5,  Φ(b2) = −2b3 +b5,  Φ(b3) = −4b2 +2b3 −b5,  Φ(b4) = −2b1 +3b3 +b4 −b5,  Φ(b5) = 3b2 +2b5 .

a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen von Φ und Φ◦Φ bezüglich B.

b) Ist Φ bijektiv? Begründen Sie Ihre Antwort.

 c) Zeigen Sie: Die Menge C := {c1,c2,c3}, bestehend aus den Vektoren c1 := b2 +b3 +b5, c2 := −b3 +b5, c3 := b2 +b5, ist Basis eines Untervektorraums U von V mit Φ(U) ⊂U.

d) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix des Endomorphismus Φ|U : U →U (das ist die Einschränkung von Φ auf U) bezüglich C.

Answer 1

Φ(b1) = 4b1 +2b2 −2b4 −3b5Φ(b2) = −2b3 +b5  Φ(b3) = −4b2 +2b3 −b5Φ(b4) = −2b1 +3b3 +b4 −b5Φ(b5) = 3b2 +2b5 .

Matrix von Φ  hat in den Spalten die Koeffizienten der Bilder der Basisvektoren, also

  M =

4         0        ..................
2         0
0         -2
-2        0
-3        1       ...............

entsprechend die nächsten 3 Spalten.

Und ΦoΦ hat die Matrix  M*M .Prüfe , ob M eine Inverse hat ( z.B. det ≠0) dann ist Φ bijektiv.

Comments

könnten Sie die c und d etwas erläutern. Ich hänge gerade daran.

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c) Zeigen Sie: Die Menge C := {c1,c2,c3}, bestehend aus den Vektoren c1 := b2 +b3 +b5, c2 := −b3 +b5, c3 := b2 +b5, ist Basis eines Untervektorraums U von V mit Φ(U) ⊂U.

Zeige erstmal :  Die c's sind lin. unabh.
Ansatz  x*c1 + y*c2 + z*c3 = 0

dann einsetzen  c1 := b2 +b3 +b5, c2 := −b3 +b5, c3 := b2 +b5

und umformen gibt

 (x+z) *b2   + (x-y)*b3 + ( x+y+z)*b5 = 0und weil b2, b3, b5 als Teilmenge einer Basis lin. unabh. sind,

sind die drei Klammern jeweils 0 und das gibt dann x=y=z=0.

Also die c's  lin. unabh. und damit eine Basis ihrer linearen Hülle,

Berechne dann die Bilder der c's etwa so

Φ(c1) = Φ(b2 +b3 +b5) =  Φ(b2) + Φ(b3) + Φ(b5)

= −2b3 +b5  + −4b2 +2b3 −b5 +  3b2 +2b5 

=  −b2  +2b5 

und um zu zeigen, dass das wieder in U liegt, machst du den

Ansatz   −b2  +2b5   =   x*c1 + y*c2 + z*c3 und rechnest ähnlich wie oben die x, y und z aus.Und damit hast du auch d gelöst; denn die x,y und z sind dann die erste

Spalte der gesuchten Matrix.

Entsprechend mit  Φ(c2) = ....  zeigst du, dass auch das Bild in U liegt

und hast gleich die 2. Spalte der Matrix.  etc.