Gegeben seien eine Basis und ein Endomorphismus, bestimme die Abbildungsmatrix

Question

ich bin auf diese Aufgabe hier gestoßen und komme irgendwie nicht klar.

Aufgabe: Sei B := {b1,b2} eine Basis eines Vektorraums V und ein Endomorphismus f gegeben durch
f(b1) = b1+3b2  , f^2(b1) = −b1 + b2

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix MB(f) von f bezüglich der Basis B

Problem: Also ich kenne alle Definitionen, und ich habe auch eine Musterlösung aber irgendwie verstehe ich nicht was da genau gemacht wird und wie.

Ich würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.:)

LG

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Tipp: \(-b_1+b_2=f^2(b_1)=f\big(f(b_1)\big)=f(b_1+3b_2)=f(b_1)+f(3b_2)=b_1+3b_2+3f(b_2)\).
Berechne daraus \(f(b_2)\).

Answer 1

Nachrechnen:

\( f(b 1)=b 1+3 b 2 \)

\( f(f(b 1))=-b 1+b 2 \)

\( f(b 1+3 b 2)=-b 1+b 2 \)

\( f(b 1)+3 f(b 2)=-b 1+b 2 \)

\( b 1+3 b 2+3 f(b 2)=-b 1+b 2 \)

\( \rightarrow f(b 2)=-\frac{2}{3} b 1-\frac{2}{3} b 2 \)

Damit haben wir die Bilder der Basisvektoren - alles klar?

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Ja, ich habe es verstanden! Vielen Dank für die schnelle Antwort! :))

Answer 2

Aloha :)

$$f(b_1)=M_B\cdot b_1=M_B\cdot\binom{1}{0}_B\stackrel{!}{=}b_1+3b_2=\binom{1}{3}_B\quad\Rightarrow\quad M_B=\left(\begin{array}{c}1 & x\\3 & y\end{array}\right)$$$$f^2(b_1)=M_B\cdot M_B\cdot b_1=M_B\cdot\binom{1}{3}_B=\left(\begin{array}{c}1 & x\\3 & y\end{array}\right)\cdot\binom{1}{3}_B$$$$\phantom{f^2(b_1)}=\binom{1+3x}{3+3y}_B\stackrel{!}{=}-b_1+b_2=\binom{-1}{1}_B$$Aus \(1+3x=-1\) folgt \(x=-\frac{2}{3}\) und aus \(3+3y=1\) folgt \(y=-\frac{2}{3}\). Daher ist: $$M_B=\left(\begin{array}{c}1 & -\frac{2}{3}\\3 & -\frac{2}{3}\end{array}\right)$$

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Vielen Dank für die Antwort! Es hat mir vieles jetzt klar gemacht! :)