Dazu gehst du von der Def. einer Abbildungsmatrix aus, wird wohl etwa so klingen
P= M ( α , B , B ) ist die Abbildungsmatrix des
Endomorphismus α bzgl. der Basis B = (b1 , b2 , ... , bn ) für Originale und Bilder.
<==> Für alle x ∈ V mit x = ∑ xibi und α(x) = ∑ yibi gilt
P * (x1,x2,...xn)T = (y1,y2,...yn)T .
Sei nun also P = M ( α , B , B ) und λ ∈ K und
Dann bleibt zu zeigen Q := λ*In - P ist die Matrix der
Abbildung f = λ*idV - a bzgl. der
Basis B = (b1 , b2 , ... , bn ) für Originale und Bilder.
Sei also x ∈ V mit x = ∑ xibi und f(x) = ∑ zibi
, dann ist zu zeigen Q * (x1,x2,...xn)T = (z1,z2,...zn)T .
Das rechnet man einfach nach:
Q * (x1,x2,...xn)T
= ( λ*In - P ) * (x1,x2,...xn)T
= ( λ*In ) * (x1,x2,...xn)T - P * (x1,x2,...xn)T
= λ* (x1,x2,...xn)T - P * (x1,x2,...xn)T
= (λ*x1,λ*x2,...λ*xn)T - (y1,y2,...yn)T
= (λ*x1-y1, λ*x2-y2, .... λ*xn-yn )T
Und um zu schauen, ob das wirklich gleich (z1,z2,...zn)T .
ist, muss man zeigen, dass f(x) = ∑ (λ*xi-yi)bi ist.
Dem ist so, weil ∑ (λ*xi-yi)bi
= ∑ (λ*xi *bi - yi*bi )
= ∑ (λ*xi *bi ) - ∑( yi*bi )
= λ* ∑ (xi *bi ) - ∑( yi*bi )
= λ* x - a(x)
= λ*idV( x) - a(x)
= (λ*idV - a)(x)
= f(x) . q.e.d.
