Es sei V ein n dimensonaler K Vektorraum und f: V→V ein nilpotneter Endomorphismus

Question

Aufgabe:Es sei V ein n dimensonaler K Vektorraum und f: V→V ein nilpotneter Endomorphismus( d.h. es gibt ein m∈ N, sodass f^m die Nullabbildung ist.

Für ein festes v∈V\{0} betrachten wir den Untervektorraum

 U = [fⁿ(v), f^n-1(v),....,f(v),v]

Problem/Ansatz:

a) Sei k ≥ 0, sodass f^k(v) ≠ 0, aber f^k+1(v) = 0. Zeigen Sie, dass

          B= ( f^k(v), f^k-1(v), ....., f(v),v) eine geordnete Basis von U ist.

 b) Geben Sie die Abbildungsmatrix D_BB(f|u) an.

  _{c) Es sei nun C die geordnete Basis}

                     _{C = (v, f(v),f}²_{(v),.... f}^k-1_{(v), f}^k_(v)),

  also eine basis, die mit B als Menge ubereinstimmt, aber in der die Anordnung der Basisvektoren umgekehrt ist. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix D_CC(f|u) sowie die basiswechselmatrix D_CB(idu). Verifizieren Sie, dass D_BB(f|u) = D_BC(idu)*D_CC(f|u)*D_CB(idu)gilt