Alpha Beta ≠ Beta Alpha.

Question

Aufgabe:

Für eine Menge \( A \) betrachten wir \( \operatorname{Sym}(A)=\{\alpha \mid \alpha: A \rightarrow A \) bijektiv \( \} \subseteq \operatorname{Abb}(A, A) \).

(c) Finden Sie für \( A=\{1,2, \ldots, n\} \) mit \( n \in \mathbb{N}_{\geq 3} \) Elemente \( \alpha, \beta \in \operatorname{Sym}(A) \) mit \( \alpha \beta \neq \beta \alpha \).
Bemerkung. Bijektionen von einer Menge \( A \) auf sich heißen Permutationen von \( A \). Die Bezeichnung \( \operatorname{Sym}(A) \) steht für symmetrische Gruppe.

Problem/Ansatz:

Hat Jemand eine Idee, wie man die Aufgabe löst? Ein paar Ansätze würden mir sehr weiterhelfen. Danke im voraus.

Comments

Zuerst ist es ratsam mal zwei Bijektionen für n=3 zu suchen die nicht vertauschen.

Da gibt es nicht so wahnsinnig viele Möglichkeiten.

Answer 1

α:   1→2
     2→3
     3→1

und

ß: 1→2
    2→1
    3→3

Das dürfte klappen.

Comments

Hey, danke für deine Hilfe. Wie bist Du darauf gekommen und gibt es nicht mehrere Kombinationen? (Wegen >=3)

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Hab einfach mal was probiert. Es gibt sicherlich noch mehr

Möglichkeiten.