Ist ein symmetrischer Endomorphismus in einem euklidischen Raum normal?

Question

In meinem Skript steht der Satz:

Sei V ein endlich-dimensionaler unitärer (euklidischer) Raum und ϕ ein selbstadjungierter (symmetrischer) Endomorphismus. Dann existiert eine Orthonormalbasis B von V , sodass

\(M_B(\phi) = \begin{pmatrix} \lambda_1 &  &  \\  & \ddots & \\  & & \lambda_n \end{pmatrix} \)

gilt. Alle Eigenwerte sind reell und mit ihrer Vielfachheit vertreten. Insbesondere hat eine reelle symmetrische n×n-Matrix immer n reelle Eigenwerte (mit Vielfachheit).

Im Beweis steht:

"Im unitären Fall ist ϕ normal...." Der Fall ist dann auch klar und wird in einem Satz mit dem Spektralsatz begründet.

Allerdings ist der Beweis für den euklidischen Fall fast eine Seite lang.

Ich frage mich gerade aber, warum die Abbildung im euklidischen Fall nicht auch normal ist? Denn einige Seiten vorher im Skript stand der Satz:

Sei ϕ ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen euklidischen Raums V mit Orthonormalbasis B so gilt

1. ϕ ist genau dann selbstadjungiert, wenn M_B(ϕ) = M_B(ϕ)^T gilt. Man nennt ϕ und M_B(ϕ) dann auch symmetrisch.

Und selbstadjungierte Abbildungen sind ja auch insbesondere normal.

Also auch wenn der Spektralsatz ja trotzdem nur auf den unitären Raum angewendet werden kann, müsste ein symmetrischer Endomorphismus im euklidischen Raum doch trotzdem normal sein, oder?

MfG

Answer 1

Ja, das stimmt. Wegen \(M_\mathcal{B}(\varphi^*) = \left(M_\mathcal{B}(\varphi)\right)^*\) genügt es, das auf Matrizen anzuschauen. Ist \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) symmetrisch, dann gilt

$$AA^* = A\overline{A^T} = AA^T = A^2 = A^TA = \overline{A^T}A = A^*A$$

und damit ist \(A\) normal.

Comments

Warum wird dann "selbstadjungiert (symmetrisch)" geschrieben, statt einfach nur selbstadjungiert?