Wie geht man mit so einem Endomorphismus um?

Question

hi, ich soll die Determinante dieses Endos ausrechnen und habe schon versucht, den Endomorhismus als Matrix darzustellen um dann die Determinante zu bestimmen (weil dann ja die Determinante gleich bleiben müsste) aber das hat nicht wirklich etwas gebracht, weshalb ich euch um Rat bitte wollte....

Es geht um diesen Endomorphismus:

Sei \( f \) der Endomorphismus des \( \mathbb{R} \) -Vektorraums \( \mathbb{R}_{3}[X]:=\{p \in \mathbb{R}[X] ; \operatorname{deg} p \leq 3\}, \) der durch
$$ f(p):=X^{4} p^{\prime \prime}+\left(1-4 X^{3}\right) p^{\prime}+\left(1+6 X^{2}\right) p $$
gegeben ist, wobei \( p^{\prime} \) bzw. \( p^{\prime \prime} \) die erste bzw. zweite Ableitung bezeichnen.

Wisst ihr hier vielleicht weiter?

LG

Answer 1

Einsetzen von X³, X², X und 1 in f liefert

        f(X³) = X³ + 3X²,

      f(X²) = X² + 2X,

      f(X) = 2X³ + X + 1,

      f(1) = 6X² + 1.

Bezüglich der Basis (X³, X², X, 1) lautet die Matrix von f demnach

        \(\begin{pmatrix} 1&0&2&0\\3&1&0&6\\0&2&1&0\\0&0&1&1 \end{pmatrix}\)

Comments

Vielen lieben Dank für deine Antwort:)

Du hast die Basis so gewählt, also mit X^3 als Polynom mit der höchsten Potenz, damit du auch die zweite Ableitung nicht gleich null wird (sorry für die dumme Formulierung), oder?

Und woher wusstest du, dass du vier Spaltenelemente benötigst?

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Du hast die Basis so gewählt, also mit X3 als Polynom mit der höchsten Potenz, damit du auch die zweite Ableitung nicht gleich null wird (sorry für die dumme Formulierung), oder?

Nein. Ich habe die Basis so gewählt, weil das die einzige Basis von ℝ₃[X] ist, die mir spontan ohne nachzurechnen eingefallen ist.

Im nachhinein hätte man auch

        (X³,   X³ + X²,   X³ + X² + X,   X³ + X² + X + 1)

als Basis verwenden können. Das würde aber die Rechnung etwas umständlicher machen.

Und woher wusstest du, dass du vier Spaltenelemente benötigst?

Der Definitionsbereich ℝ₃[X] ist ein vierdimensionaler Vektorraum. Es gibt nämlich einen Isomorphismus zwischen ℝ₃[X] und ℝ⁴, nämlich

        \(aX^3 + bX^2 + cX + d \mapsto \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \).

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vielen vielen Dank! Jetzt ist es klar:) (und bitte entschuldige meine späte Rückmeldung)

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Ich will dich eigentlich nicht noch mehr mit meiner Frage strapazieren aber woher weiß ich, dass diese Basis eine Basis des Endos ist und wie genau hast du daraus die Matrix von f hinbekommen? Sorry für die ganzen Nachfragen:(

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Endomorphismen haben keine Basis.

Vektorräume haben Basen. (X³, X², X, 1) ist eine Basis des Vektorraumes ℝ₃[X].

Ein Endomorphismus φ ist eine lineare Abbildungen eines K-Vektorraumes V in sich selbst. Hat man zu V eine Basis B = (v₁, ..., v_n), dann kann man φ durch eine Matrix M beschreiben. Die Matrix kann man dann wie folgt verwenden, um das Bild w = φ(v) eines Vektors v ∈ V zu berechnen:

1. Man stellt v als Linearkombination der Basis B dar indem man die Gleichung
   

           α₁v₁+ ... + α_nv_n = v.

   nach α₁, ... α_n ∈ K löst. Der Vektor k_v = (α₁ ... α_n)^T ∈ Kⁿ heißt Koordinatenvektor von v bezüglich B.

2. Man berechnet dann den Koordinatenvektor k_w = (β₁, ..., β_n)^T von w mittels der Matrix-Vektor-Multiplikation
   

           k_w = M · k_v.

3. Anschließend bildet man die Linearkombination der Basis B mit den Koordinaten k_w:
   

           w = β₁v₁ + ... + β_nv_n.

Das funktioniert mit jedem endlichdimensionalen Vektorraum und ist ein wichtiger Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen.

Es bleibt die Frage, wie man zu einem gegebenen Endomorphismus φ und einer Basis B die Matrix M bestimmt. Dazu:

        Die Spalten von M sind die Koordinatenvektoren der Bilder der Vektoren von B.

Beispiel. V sei der Vektorraum aus deiner Aufgabenstellung. φ sei der Endomorphismus aus deiner Aufgabenstellung. Die Basis B sei (X³, X², X, 1). Dann ist

        φ(X³) = X⁴·6X + (1−4X³)·3X² + (1+6X²)·X³

                  = 6X⁵ + 3X² - 12X⁵ + X³ + 6X⁵
                  = X³ + 3X²
                  = 1·X³ + 3·X² + 0·X + 0·1.

Der Koordinatenvektor von φ(X³) bezüglich der Basis B lautet also (1 3 0 0)^T. Und das ist die erste Spalte von M.

Sorry für die ganzen Ausschweifungen :(

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VIELEN VIELEN DANK, ich finde es unglaublich nett, dass du nochmal geantwortet hast.:) Und nein, die "Ausschweifungen" sind sehr hilfreich: