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Aufgabe

Geben Sie eine Matrix \(A\in M_3(\mathbb{Q})\) an, so dass für die lineare Abbildung

\(f: \ \mathbb{Q}^3 \to \mathbb{Q}^3, \ x \mapsto Ax\), gilt, dass

\(V_0(f)= \langle \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \rangle,\quad V_2(f)= \langle \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \rangle\)

und begründen Sie, dass \(A\) die angegebene Eigenschaft hat, oder begründen Sie, warum es eine solche Matrix nicht gibt.
(Wie üblich bezeichne \(V_λ(f)\) den Eigenraum des Endomorphismus \(f\) zum Eigenwert \(λ\).)


Problem/Ansatz:

Ich habe richtige Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, könnte mir da jemand behilflich sein?

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Hallo, aus dem Gegebenen kann man zunächst zwei Eigenschaften schließen, falls man annimmt, dass so ein \(A\) existiert:

\(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\) wegen \(V_0(f)= \langle \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \rangle\)und

\(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}\) wegen \(V_2(f)= \langle \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \rangle \)

Jetzt bastel ich einen weiteren Eigenraum von \(f\) hin: \(V_\lambda (f)=\langle \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \rangle\), wobei \(\lambda\neq 0,2\). Diese beiden Werte auszuschließen, macht die Sache etwas einfacher, da man somit \(A\) so bestimmen kann, sodass \(A\) diagonalisierbar ist. (Eigenwerte sind nämlich paarweise verschieden => Eigenräume eindimensional). Jetzt kannst du dir mal \(A\) allgemein aufstellen:

\(A=\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&k \end{pmatrix}\). Nach Konstruktion gilt weiter

\(A\cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax_1+bx_2+cx_3\\dx_1+ex_2+fx_3\\gx_1+hx_2+kx_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda\cdot x_1\\\lambda\cdot x_2\\\lambda\cdot x_3 \end{pmatrix}\).

Von oben hat man weiter:

\(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+b\\d+e\\g+h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\) sowie

\(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\d\\g \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}\).

Somit musst du nur noch die Einträge \(a,b,c,d,e,f,g,h,k\) bestimmen. Dabei kannst du dir ja schöne konkrete Werte für \(\lambda, x_1,x_2,x_3\) hinwählen.

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