Eigenwerte des Endomorphismus bestimmen

Question

Hallo, ich brauche dringend bei dieser Aufgabe Hilfe. Ich komme einfach nicht weiter und finde keinen Ansatz. Könnt ihr mir helfen? Danke im Voraus!

Text erkannt:

6. Seien \( K \) ein Körper, \( K[T] \) der Polynomring in einer Unbestimmten \( T \) über \( K \) und
\( \varphi: K[T] \rightarrow K[T] \)
die \( K \)-lineare Abbildung, die durch \( f \mapsto T \cdot f \) für alle \( f \in K[T] \) definiert ist. Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte (aus \( K \) ) des Endomorphismus \( \varphi \).

Answer 1

Die Gleichung \(T\cdot f = \lambda \cdot f\) für irgendein \(\lambda\in K\) impliziert \((T-\lambda)\cdot f = 0\). Da \(K\) ein Körper ist, ist \(K[T]\) ein Integritätsbereich, es gilt also wegen \(T-\lambda\neq 0\) auf jeden Fall \(f=0\). Folglich hat \(\varphi\) keine Eigenwerte.

Follow-Up-Question: Das gilt also selbst, wenn \(K\) algebraisch abgeschlossen ist (z.B. \(K=\mathbb{C}\)). Wieso steht das nicht im Widerspruch zur (wahrscheinlich in der Vorlesung gefällten) Aussage "Jede Matrix über einem algebraisch abgeschlossenen Körper besitzt mindestens einen Eigenwert."? Es wird ja eingeprügelt, dass Matrizen und Lineare Abbildungen das gleiche sind (sobald man eine Basis fixiert).