Koordinatenvektor bezüglich dualer Basis bestimmen

Question

Hallo, ich brauche dringend beim !!Aufgabenteil b!! eure Hilfe. In der Aufgabe stehen zwar schon Tipps, allerdings komme ich damit auch nicht weiter. Vielen Dank im Voraus!

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

4. Sei \( \mathscr{A} \) die Familie von Vektoren
\( \left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)
\( \operatorname{des} \mathbb{Q}^{3} \).
a) Zeigen Sie, dass \( \mathscr{A} \) eine Basis des \( \mathbb{Q} \)-Vektorraums \( \mathbb{Q}^{3} \) ist.
b) Es sei
\( v:=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right) \)
aus \( \mathbb{Q}^{3} \). Geben Sie ein \( n \in \mathbb{N} \) und \( n \) Koordinatenvektoren \( y_{1}, \ldots, y_{n} \in \mathbb{Q}^{3} \) bezüglich der dualen Basis \( \mathscr{A}^{*} \) von \( \mathscr{A} \) an, so dass für die zugehörigen Vektoren \( w_{i}:=\Phi_{\mathscr{A}^{*}}\left(y_{i}\right) \) in \( \left(\mathbb{Q}^{3}\right)^{*} \) \( (i=1, \ldots, n) \) gilt, dass \( \left\langle w_{1}, \ldots, w_{n}\right\rangle=\langle v\rangle^{\perp} \) ist (hier ist \( \Phi_{\mathscr{A}^{*}} \) das Koordinatensystem zur Basis \( \left.\mathscr{A}^{*}\right) \). Wie groß muss dafür \( n \) mindestens sein? Begründen Sie Ihre Antworten.
Tipp: Ein möglicher Lösungsweg ist der folgende: Stellen Sie zunächst \( v \) bzgl. der Basis \( \mathscr{A} \) dar, d.h. Sie bekommen einen Vektor \( x \in \mathbb{Q}^{3} \) mit \( \Phi_{\mathscr{A}}(x)=v \). Formulieren Sie dann eine Bedingung an ein \( y \in \mathbb{Q}^{3} \) dafür, dass \( \Phi_{\mathscr{A}^{*}}(y) \in\langle v\rangle^{\perp} \) ist (in dieser Bedingung sollte dann nur das \( y \) und das \( x \) auftauchen).

Text erkannt:

4. Sei \( \not{d} / \mathrm{die} \) Familie won Vektoren
\( \left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)
des \( \mathbb{Q}^{3} \).
a) Zeigen Sie, dass af \( ^{2} \) eine Basis des Q-Vektorraums \( Q^{3} \) ist.
b) Es sei
\( v:=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right) \)
aus \( \mathbb{Q}^{3} \), Geben Sie ein \( n \in \mathbb{N} \) und \( n \) Koordinatenvektoren \( y_{1}, \ldots, y_{n} \in Q^{3} \) bezliglich der dualen Basis \( \mathscr{A}^{*} \) von \( \mathscr{A} \) an, so dass für die zugehörigen Vektoren \( w_{i}:=\Phi_{J^{*}}\left(y_{i}\right) \) in \( \left(Q^{3}\right)^{*} \) \( (i=1, \ldots, n) \) gilt, dass \( \left\langle w_{1}, \ldots, w_{n}\right\rangle=\langle v\rangle^{\perp} \) ist (hier ist \( \Phi_{g_{0}} \). das Koordinatensystem zur Basis \( \left(a^{\prime}\right) \). Wie gro6 muss dafür \( n \) mindestens sein? Begruinden Sie lhre Antworten.
Tipp: Ein mẍglicher Lösungsweg ist der folgende: Stellen Sie zunichst \( v \) bagl. der Basis of dar, d.h. Sie bekommen einen Vektor \( x \in \mathbb{Q}^{3} \) mit \( \Phi_{A}(x)=v \). Formulieren Sie dann eine Bedingung an ein \( \mathrm{y} \in Q^{3} \) dafur, dass \( \Phi_{a r}(y) \in(v)^{\perp} \) ist (in dieser Bedingung sollte dann nur das \( y \) und das \( x \) auftauchen).

Comments

Du könntest uns doch entgegenkommen und den ersten Teil des Tipps erfüllen, nämlich v in der Basis A darstellen.

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@Mathhilf

V dargestellt durch A wäre der Vektor (1 2 3). Dies ergibt sich durch das entsprechende LGS

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Du hast also \(v=1a_1+2a_2+3a_3\) und Du suchst \(w=y_1a_1^*+y_2a_2^*+y_3a_3^*\) mit der Eigenschaft \(w \in \langle v \rangle^{\perp}\), d.h. so dass

$$w(v)=(y_1a_1^*+y_2a_2^*+y_3a_3^*)(1a_1+2a_2+3a_3)=0$$

(vielleicht habt Ihr die Anwendung eines Funktionals auf einen Vektor auch anders notiert.) Jetzt musst Du die Eigenschaften einer dualen Basis ausnutzen...

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@Mathhilf hier komme ich nicht weiter das ist mein generelles Problem bei der Aufgabe

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Wie ist denn die Definition von "dualer Basis"?

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@Mathhilf Die Definition lautete: Sei V K-Vektorraum und B = (v1, . . . , vn) Basis von V .
Für i ∈ {1, . . . , n} sei v∗ i ∈ V∗ definiert durch v∗i (vj ) = δij ∀j = 1, . . . , n.
Dann ist B = (v∗i, . . . , v∗n) eine Basis von V∗, die zu B duale Basis.

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Damit kannst Du doch das obige w(v) umformen / ausrechnen.

Answer 1

Mit den obigen Kommentaren: Wir suchen \(w \in ({\mathbb{Q}}^3)^*\) mit \(w=c_1a_1^*+c_2a_2^*+c_3a_3^*\) (Ich habe die Bezeichnung geändert, damit es besser zur Aufgabe passt.) Dann soll gelten

$$0=w(v)=w=(c_1a_1^*+c_2a_2^*+c_3a_3^*)(1a_1+2a_2+3a_3)\\\quad =1\cdot c_1+2\cdot c_2+3 \cdot c_3$$

Offenbar sind alle Lösungen \(c=(c_1,c_2,c_3)\)  gegeben durch zum Beispiel

$$\text{span}(y_1,y_2) \text{  mit }y_1=(-2,1,0), y_2=(-3,0,1)$$