0 Daumen
533 Aufrufe

Hallo, ich brauche dringend beim !!Aufgabenteil b!! eure Hilfe. In der Aufgabe stehen zwar schon Tipps, allerdings komme ich damit auch nicht weiter. Vielen Dank im Voraus!


Problem/Ansatz:Aufgabe .png

Text erkannt:

4. Sei A \mathscr{A} die Familie von Vektoren
((011),(201),(101)) \left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)
desQ3 \operatorname{des} \mathbb{Q}^{3} .
a) Zeigen Sie, dass A \mathscr{A} eine Basis des Q \mathbb{Q} -Vektorraums Q3 \mathbb{Q}^{3} ist.
b) Es sei
v : =(116) v:=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right)
aus Q3 \mathbb{Q}^{3} . Geben Sie ein nN n \in \mathbb{N} und n n Koordinatenvektoren y1,,ynQ3 y_{1}, \ldots, y_{n} \in \mathbb{Q}^{3} bezüglich der dualen Basis A \mathscr{A}^{*} von A \mathscr{A} an, so dass für die zugehörigen Vektoren wi : =ΦA(yi) w_{i}:=\Phi_{\mathscr{A}^{*}}\left(y_{i}\right) in (Q3) \left(\mathbb{Q}^{3}\right)^{*} (i=1,,n) (i=1, \ldots, n) gilt, dass w1,,wn=v \left\langle w_{1}, \ldots, w_{n}\right\rangle=\langle v\rangle^{\perp} ist (hier ist ΦA \Phi_{\mathscr{A}^{*}} das Koordinatensystem zur Basis A) \left.\mathscr{A}^{*}\right) . Wie groß muss dafür n n mindestens sein? Begründen Sie Ihre Antworten.
Tipp: Ein möglicher Lösungsweg ist der folgende: Stellen Sie zunächst v v bzgl. der Basis A \mathscr{A} dar, d.h. Sie bekommen einen Vektor xQ3 x \in \mathbb{Q}^{3} mit ΦA(x)=v \Phi_{\mathscr{A}}(x)=v . Formulieren Sie dann eine Bedingung an ein yQ3 y \in \mathbb{Q}^{3} dafür, dass ΦA(y)v \Phi_{\mathscr{A}^{*}}(y) \in\langle v\rangle^{\perp} ist (in dieser Bedingung sollte dann nur das y y und das x x auftauchen).

Text erkannt:

4. Sei /die \not{d} / \mathrm{die} Familie won Vektoren
((011),(201),(101)) \left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)
des Q3 \mathbb{Q}^{3} .
a) Zeigen Sie, dass af 2 ^{2} eine Basis des Q-Vektorraums Q3 Q^{3} ist.
b) Es sei
v : =(116) v:=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right)
aus Q3 \mathbb{Q}^{3} , Geben Sie ein nN n \in \mathbb{N} und n n Koordinatenvektoren y1,,ynQ3 y_{1}, \ldots, y_{n} \in Q^{3} bezliglich der dualen Basis A \mathscr{A}^{*} von A \mathscr{A} an, so dass für die zugehörigen Vektoren wi : =ΦJ(yi) w_{i}:=\Phi_{J^{*}}\left(y_{i}\right) in (Q3) \left(Q^{3}\right)^{*} (i=1,,n) (i=1, \ldots, n) gilt, dass w1,,wn=v \left\langle w_{1}, \ldots, w_{n}\right\rangle=\langle v\rangle^{\perp} ist (hier ist Φg0 \Phi_{g_{0}} . das Koordinatensystem zur Basis (a) \left(a^{\prime}\right) . Wie gro6 muss dafür n n mindestens sein? Begruinden Sie lhre Antworten.
Tipp: Ein mẍglicher Lösungsweg ist der folgende: Stellen Sie zunichst v v bagl. der Basis of dar, d.h. Sie bekommen einen Vektor xQ3 x \in \mathbb{Q}^{3} mit ΦA(x)=v \Phi_{A}(x)=v . Formulieren Sie dann eine Bedingung an ein yQ3 \mathrm{y} \in Q^{3} dafur, dass Φar(y)(v) \Phi_{a r}(y) \in(v)^{\perp} ist (in dieser Bedingung sollte dann nur das y y und das x x auftauchen).

Avatar von

Du könntest uns doch entgegenkommen und den ersten Teil des Tipps erfüllen, nämlich v in der Basis A darstellen.

@Mathhilf

V dargestellt durch A wäre der Vektor (1 2 3). Dies ergibt sich durch das entsprechende LGS

Du hast also v=1a1+2a2+3a3v=1a_1+2a_2+3a_3 und Du suchst w=y1a1+y2a2+y3a3w=y_1a_1^*+y_2a_2^*+y_3a_3^* mit der Eigenschaft wvw \in \langle v \rangle^{\perp}, d.h. so dass

w(v)=(y1a1+y2a2+y3a3)(1a1+2a2+3a3)=0w(v)=(y_1a_1^*+y_2a_2^*+y_3a_3^*)(1a_1+2a_2+3a_3)=0

(vielleicht habt Ihr die Anwendung eines Funktionals auf einen Vektor auch anders notiert.) Jetzt musst Du die Eigenschaften einer dualen Basis ausnutzen...

@Mathhilf hier komme ich nicht weiter das ist mein generelles Problem bei der Aufgabe

Wie ist denn die Definition von "dualer Basis"?

@Mathhilf Die Definition lautete: Sei V K-Vektorraum und B = (v1, . . . , vn) Basis von V .
Für i ∈ {1, . . . , n} sei v∗ i ∈ V∗ definiert durch v∗i (vj ) = δij ∀j = 1, . . . , n.
Dann ist B = (v∗i, . . . , v∗n) eine Basis von V∗, die zu B duale Basis.

Damit kannst Du doch das obige w(v) umformen / ausrechnen.

1 Antwort

0 Daumen

Mit den obigen Kommentaren: Wir suchen w(Q3)w \in ({\mathbb{Q}}^3)^* mit w=c1a1+c2a2+c3a3w=c_1a_1^*+c_2a_2^*+c_3a_3^* (Ich habe die Bezeichnung geändert, damit es besser zur Aufgabe passt.) Dann soll gelten

0=w(v)=w=(c1a1+c2a2+c3a3)(1a1+2a2+3a3)=1c1+2c2+3c30=w(v)=w=(c_1a_1^*+c_2a_2^*+c_3a_3^*)(1a_1+2a_2+3a_3)\\\quad =1\cdot c_1+2\cdot c_2+3 \cdot c_3

Offenbar sind alle Lösungen c=(c1,c2,c3)c=(c_1,c_2,c_3)  gegeben durch zum Beispiel

span(y1,y2) mit y1=(2,1,0),y2=(3,0,1)\text{span}(y_1,y_2) \text{ mit }y_1=(-2,1,0), y_2=(-3,0,1)

Avatar von 14 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

0 Antworten
0 Antworten
1 Antwort
1 Antwort
Gefragt 5 Mai 2016 von Gast