Koordinatenvektor bezüglich Basis

Question

Aufgabe:

a.) Man beweise, dass die Menge B = ((1,2,0)^t, (2,1,2)^t, (3,1,1)^t) eine Basis von R³ ist.

b.) Man bestimme den Koordinatenvektor des Vektors v = (1,2,3)^t bezüglich dieser Basis

c.) Sei B' = ((0,1,0)^t, (1,0,1)^t, (2,1,0)^t). Man bestimme die Matrix P, die den Übergang von B nach B' beschreibt.

d.) Für welche Primzahlen p ist B eine Basis von F³_p?

Answer 1

a.) Eine Basis ist laut Definition ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Zeige also lineare Unabhängigkeit indem du nachweist, dass die Gleichung

        x·(1,2,0)^t + y·(2,1,2)^t + z·(3,1,1)^t = (0,0,0)^t

eine eindeutige Lösung hat. Zeige auch, dass B ein Erzeugendensystem ist indem du nachweist, dass die Gleichung

        x·(1,2,0)^t + y·(2,1,2)^t + z·(3,1,1)^t = (a,b,c)^t

für alle a,b,c ∈ ℝ eine Lösung hat.

b.) Löse die Gleichung

        x·(1,2,0)^t + y·(2,1,2)^t + z·(3,1,1)^t = (1,2,3)^t.

Der Koordinatenvektor ist dann (x,y,z)^t.