v = (-1, -3). Bestimmen Sie den Koordinatenvektor bezüglich der beiden Basen?

Question

kann mir einer bitte bei dieser aufgabe  helfen  und erklären.Gegeben ist der vektor
$$ \vec{v}=\left[\begin{array}{l} {-1} \\ {-3} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2} $$
und zwei Basen des \( \mathbb{R}^{2} \)
$$ \begin{aligned} \mathscr{B}_{s t d} &=\left\{\left[\begin{array}{l} {1} \\ {0} \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} {0} \\ {1} \end{array}\right]\right\} \\ \mathscr{B}_{1} &=\left\{\left[\begin{array}{l} {2} \\ {2} \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \end{array}\right]\right\} \end{aligned} $$
Bestimmen Sie den Koordinatenvektor von \( \vec{v} \)
a) bezüglich der Standardbasis \( \mathscr{B}_{s t d} \)
b) bezüglich der Basis \( \mathscr{B}_{1} \)

Answer 1

a) direkt ablesen (-1, -3)

weil (-1)* (1,0) + (-3)*(0,1)

b) Ansatz (-1, -3) = a* (2, 2) + b (-2, 3)

-1 = 2a - 2b

-3 = 2a + 3b

----------------- (I) - (II)

2 = -5b

-2/5 = b

in (I)

-1 = 2a + 4/5

-9/5 = 2a

-9/10 = a

Vektor (-9/10 , -2/5)

Rechne sorgfältig nach und kontrolliere ob

 (-1, -3) = a* (2, 2) + b (-2, 3) mit den gefundenen a und b stimmt.