Polynom als Koordinatenvektor darstellen - Problem: Die Basen sind Komplex.

Question

Aufgabe:

Für die geordneten Basen

\(B = ( \quad i, \quad iX, \quad X+X^2 \quad)\) und
\( B' = ( \quad 2, \quad3X, \quad4X^2 \quad ) \)

des Komplexen Vektorraums \( \mathbb{C}[X]_2 \) der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2 und das Polynom $$ p = 4X^2 + 2 \\  \, \, = (-2i)*i + (4i)*(iX) + (4)*(X+X^2) \\ \, \,  = (1)*(2) + (0)*(3X)* 1*4X^2). $$

Gilt, 
\( p_B =  \begin{pmatrix} -2i\\4i\\4 \end{pmatrix} \)  und \( p_{B'} =  \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \).

Problem/Ansatz:

Wie finde ich bei solchen Basen (komplexe Basen) auf einfache Art und Weise die Koeffizienten heraus ? 

Wenn Basisvektoren in Spaltenvektorenform gegeben sind, fällt es mir leicht die Koeffizienten zu bestimmen, denn dort kann ich ein Gleichungssystem aufstellen. 

Hier Fällt mir aber kein Verfahren ein.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst für jeden einzelnen aktuellen Basisvektor die Darstellung in den neuen Basisvektoren bestimmen. In deinem Beispiel hast du den Vektorraum der 2-dim. Polynome mit der Standardbasis \(S=\{1,x,x^2\}\) gegeben und sollst von da in die Basis \(B=\{i,ix,x+x^2\}\) bzw. in die Basis \(B'=\{2,3x,4x^2\}\) transformieren.

Du nimmst nun jeden Vektor der Standardbasis und drückst ihn durch die Zielbasis aus:

$$1=a\cdot i+b\cdot ix+ c\cdot(x+x^2)\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(-i,0,0\right)$$$$x=a\cdot i+b\cdot ix+ c\cdot(x+x^2)\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(0,-i,0\right)$$$$x^2=a\cdot i+b\cdot ix+ c\cdot(x+x^2)\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(0,i,1\right)$$Die gefundenen Linearkombinationen trägst du nun als Spalten in eine Matrix ein und mutliplizierst diese Matrix mit der Darstellung des Vektors in der alten Basis:

$$2+4x^2=\left(\begin{array}{c}2\\0\\4\end{array}\right)\quad\to\quad\left(\begin{array}{c}-i & 0 & 0\\0 & -i & i\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2i\\4i\\4\end{array}\right)$$Dasselbe nochmal für \(B'\):

$$1=a\cdot 2+b\cdot 3x+ c\cdot4x^2\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(\frac{1}{2},0,0\right)$$$$x=a\cdot 2+b\cdot 3x+ c\cdot4x^2\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(0,\frac{1}{3},0\right)$$$$x^2=a\cdot 2+b\cdot 3x+ c\cdot4x^2\;\;\Rightarrow\;\;(a,b,c)=\left(0,0,\frac{1}{4}\right)$$Und nun wieder alle Linearkombinationen als Spalten in eine Matrix eintragen und mittels Matrixmultiplikation die Darstellung in der neuen Basis ausrechnen:

$$2+4x^2=\left(\begin{array}{c}2\\0\\4\end{array}\right)\quad\to\quad\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}2\\0\\4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$$