Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume des von D definierten Endomorphismus \mu_{D}: K^{m} → K^{m} .

Question

Text erkannt:

Aufgabe 39
Es sei
\( D=\left(\begin{array}{cccc} d_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_{m} \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{m}(K) \)
eine Diagonalmatrix. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume des von \( D \) definierten Endomorphismus \( \mu_{D}: K^{m} \rightarrow K^{m} \).

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hey weiß wer was hier die Eigenwerte sind? bin leider hier mit nur 0 und den d sehr verwirrt und komm nicht weiter, vll weiß auch wer was hier die Eigenräume sind...

Answer 1

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Das charakteristische Polynom ist die Determinante von \(D - \lambda E\) mit Einheitsmatrix \(E\).

\(D - \lambda E\) ist eine Diagonalmatrix. Determinanten von Diagonalmatrizen sind besonders einfach zu bestimmen.

Comments

sorry falls ich das falsch verstanden habe also sind D - YE die Eigenwerte und wie finde ich jetzt die Eigenräume?

Answer 2

Aloha :)

Hier brauchst du fast gar nichts zu rechnen. Multipliziere die Matrix mal mit ein paar Basisvektoren:$$\left(\begin{array}{c}d_1 & 0 & 0 & 0\\0 & d_2 & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & 0 & d_m\end{array}\right)\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\implies D\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=d_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{c}d_1 & 0 & 0 & 0\\0 & d_2 & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & 0 & d_m\end{array}\right)\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\d_2\\\vdots\\0\end{pmatrix}\implies D\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}=d_2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}$$

Erkennst du das Prinzip?

Auf der Hauptdiagonale stehen die Eigenwerte \(d_1,d_2,\ldots,d_m\).

Die zugehörigen Eigenvektoren sind die Basisvektoren.