Berechne die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume des Endomorphismus

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein Endomorphismus φ∈End(ℝ³) mit Darstellungsmatrix

\( \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1 \\ 0&1&0 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

1. Berechne die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume des Endomorphismus

2. Bestimme mithilfe von a eine Matrix S, sodass S^-1AS eine Diagonalmatrix ist.

Hinweis: Beachten sie die i-te Spalte des Gleichungssystems AS=SD, wobei D=S^-1AS die Diagonalmatrix bezeichnet.

bei 1. habe ich die Eigenwerte α=0, α=+\( \sqrt{2} \) und α=-\( \sqrt{2} \)

weiter komme ich nicht, kann mir wer helfen ?

Answer 1

Aloha :)

Zur Bestimmung der Eigenwerte benötigen wir das charakteristische Polynom:$$0\stackrel{!}{=}\operatorname{det}\left(\begin{array}{r}-\lambda & 1 & 0\\1 & -\lambda & 1\\0 & 1 & -\lambda\end{array}\right)=-\lambda(\lambda^2-1)-(-\lambda)=-\lambda^3+2\lambda=-\lambda(\lambda^2-2)$$Die Eigentwerte sind daher:$$\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=-\sqrt2\quad;\quad\lambda_3=\sqrt2$$

Die Eigenvektoren folgen durch Einsetzen der Eigenwerte in die charakteristische Matrix:$$\begin{array}{r}x & y & z & = \\\hline 0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;\begin{array}{l}y\!\!&=&\!\!0\\x+z\!\!&=&\!\!0\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}x\!\!&=&\!\!x\\y\!\!&=&\!\!0\\z\!\!&=&\!\!-x\end{array}$$$$\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline \sqrt2 & 1 & 0 & 0\\1 & \sqrt2 & 1 & 0\\0 & 1 & \sqrt2 & 0\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;\begin{array}{l}\sqrt2x+y&=&0\\x+\sqrt2y+z&=&0\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;\begin{array}{l}x\!\!&=&\!\!x\\y\!\!&=&\!\!-\sqrt2x\\z\!\!&=&\!\!-x-\sqrt2y=x\end{array}$$$$\begin{array}{r}x & y & z & =\\\hline -\sqrt2 & 1 & 0 & 0\\1 & -\sqrt2 & 1 & 0\\0 & 1 & -\sqrt2 & 0\end{array}\;\Rightarrow\;\begin{array}{l}-\sqrt2x+y\!\!&=&\!\!0\\x-\sqrt2y+z\!\!&=&\!\!0\end{array}\;\Rightarrow\;\begin{array}{l}x\!\!&=&\!\!x\\y\!\!&=&\!\!\sqrt2x\\z\!\!&=&\!\!-x+\sqrt2y\!=\!x\end{array}$$Daher lauten die 3 Eigenvektoren:$$\vec v_1=x\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=x\begin{pmatrix}1\\-\sqrt2\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=x\begin{pmatrix}1\\\sqrt2\\1\end{pmatrix}$$

Die Transformationsmatrix \(\mathbf S\) erhalten wir, indem wir die Eigenvektoren als Spalten eintragen:$$\mathbf S=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -\sqrt2 & \sqrt2\\-1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$Die Diagonalmatrix sollte nach dieser Transformation die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen haben:$$\mathbf D=\mathbf S^{-1}\mathbf A\mathbf S$$$$\phantom{\mathbf D}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4} & 0 & -\frac{1}{2}\\\frac{1}{4} & -\frac{1}{2\sqrt2} & \frac{1}{4}\\\frac{1}{4} & \frac{1}{2\sqrt2} & \frac{1}{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & -\sqrt2 & \sqrt2\\-1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\mathbf D}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & -\sqrt2 & 0\\0 & 0 & \sqrt2\end{pmatrix}\quad\checkmark$$