Berechnen Sie alle Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume von A

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} $$
a) Berechnen Sie alle Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenräume von \( A \)
b) Begründen Sie, dass \( A \) diagonalisierbar ist und geben Sie eine reguläre Matrix \( S \) und eine Diagonalmatrix \( D \) an, sodass \( A=S D S^{-1} \)

Problem/Ansatz:

Wieso kann ich die Eigenvektoren auch über das Kreuzprodukt der Vektoren berechnen? Wie gebe ich den Eigenraum für einen doppelten Eigenwert an ? Und wenn ich die Diagonalmatrix angebe, sind ja die Einträge der Hauptdiagonalen die Eigenwerte. Spielt da die Reihenfolge eine rolle? Denn bei dem Beispiel auf dieser Seite https://moodle.ruhr-uni-bochum.de/m/mod/page/view.php?id=29802 stehen bei der Matrix S die Eigenvektoren der doppelten Eigenwerte zuerst. bei der b) bin ich etwas verwirrt.

Answer 1

Hast doch alles richtig gerechnet. Was meinst Du mit "Eigenvektoren über Kreuzprodukt der Vektoren berechnen"? Welche Vektoren sind gemeint?

Comments

Ich meine den Eigenvektor v1, den hätte ich auch über das Kreuzprodukt der Vektoren [1,0,–1] [3,3,0] berechnen können. Also woran liegt das?

Answer 2

Hallo soweit ich das durchgelesen habe stimmt alles, auch deine Begründung für b)

die Eigenvektoren hast du auch in der richtigen Reihenfolge,  die Angabe der Eigenräume einfach als span oder lineare Hülle des oder der Vektoren. also ohne das k , wenn k dann nicht das gleiche für beide. also einfach {e1,e2} oder r*e1+s*e2 ras in R

Gruß lul

Comments

Oki danke schön